Lipschitzstetige Abbildungen und Homoeomorphismen

Wir beschäftigen uns mit drei Problemkreisen. In allen werden Lipschitz stetige Abbildungen in Hilbert- und Banachräumen studiert. Wir untersuchen, wann eine "Fast"-Isometrie einer endlichen Untermenge der Kugel im Hilbertraum auf die ganze Kugel erweitert werden kann. Das zweite Thema betrifft Projektionen im Hilbertraum, d.h. Abbildungen auf den nächstgelegen Punkt in abgeschlossenen Teilräumen, oder allgemeiner, in abgeschlossenen konvexen Teilmengen. Wir behandeln die Frage, wann Iterationen endlich vieler solcher Projektionen konvergieren. Im dritten Problemkreis behandeln wir nichtexpansive Abbildungen. Wir fragen, wie die Existenz von Fixpunkten nichtexpansiver Selbstabbildungen von beschränkten konvexen Mengen mit Reflexivität zusammenhängt, und approximieren kontraktive Retrakte.

Wir beschäftigten uns mit vier Problemkreisen, allen gemeinsam war das Studium lipschitzstetiger Abbildungen und Fixpunkten. Zunächst behandelten wir Produkte endlich vieler orthogonaler Projektionen im Hilbertraum. Wir entwickelten eine neue Methode zum Untersuchen von iterativen Projektionen. Für abgeschlossene Unterräume endlicher Dimension oder Kodimension lieferte die Methode eine Abschätzung der Konvergenzrate und dadurch die Konvergenz. Jede kontraktive Abbildung einer Untermenge eines Hilbertraumes in den selben Raum besitzt eine kontraktive Erweiterung auf den ganzen Raum. Wir zeigen, dass es stetige Operatoren gibt, die jeder Kontraktion eine kontraktive Erweiterung zuordnen. Eine Anwendung ist die Approximation von Kontraktionen durch Isometrien. Im dritten Problemkreis behandeln wir Resolventen von koakretiven Operatoren in der Hilbertkugel, insbesondere die Asymptotik der Komposition und metrischen konvexen Kombinationen. Wir leiten Resultate ueber die schwache, sowie die starke Konvergenz her. Wir beweisen die Existenz von Zonendiagrammen bezüglich endlich vieler kompakter Mengen in einem uniform konvexen normierten Raum. Iterative Projektionen wurden in Computertomographie angewendet. Zonendiagramme hängen mit dem Gestalten von integrierten Schaltkreisen zusammen.