Numerik stochastischer partieller Differentialgleichungen

Stochastische partielle Differentialgleichungen werden seit langem als mathematisches Modell zur Beschreibung vielfältiger Phänomene in Natur und Technik herangezogen, wobei Systeme betrachtet werden, bei denen der Zufall eine Rolle spielt. Stochastische partielle Differentialgleichungen tauchen z.B. in der Neurophysiologie, Finanzmathematik, Chemie und Populationsdynamik auf. Zumeist wird der Zufall mit einen Gauß`schen Rauschen modelliert - tauchen aber z.B. Sprünge auf, wird die Natur nicht im ausreichenden Maße beschrieben. In diesem Fall kann man das Gauß`sche Rauschen durch einen Poisson Prozess ersetzen. Leider gibt es in den meisten Fällen keine explizite Lösung, sodass man darauf angewiesen ist die Lösung durch Simulationen zu gewinnen. Ein Problem ist auch, dass man Techniken, die sich bei normalen partiellen Differentialgleichungen bewährt haben nicht so leicht auf stochastische Differentialgleichungen übertragen kann. Dies ist vor allem auf die Besonderheiten stochastischer Systeme zurückzuführen. So ist z.B. ein Gauß`scher Prozess zwar überall stetig, aber nirgends differenzierbar. Unser Ziel ist es, verschiedene Algorithmen zur Approximation von stochastischen partiellen Differentialgleichungen mit zugrunde liegendem Gaußschen oder Poissonschen Rauschen zu finden. Unser Schwerpunkt wird bei nichtlinearen Stochastischen Partiellen Differentialgleichungen liegen.

Stochastische partielle Differentialgleichungen werden seit langem als mathematisches Modell zur Beschreibung vielfältiger Phänomene in Natur und Technik herangezogen, wobei Systeme betrachtet werden, bei denen der Zufall eine Rolle spielt. Stochastische partielle Differentialgleichungen tauchen z.B. in der Neurophysiologie, Finanzmathematik, Chemie und Populationsdynamik auf. Viele Techniken, die sich bei deterministischen partiellen Differentialgleichungen bewährt haben kann man nicht so leicht auf stochastische Differentialgleichungen übertragen. Dies ist vor allem auf die Besonderheiten stochastischer Systeme zurückzuführen. So ist z.B. ein Gaußscher Prozess zwar überall stetig, aber nirgends differenzierbar. In diesem Projekt wurden verschiedene nichtlineare stochastische Partielle Differentialgleichungen untersucht. Dabei schauten wir uns verschiedene Probleme bei der Burgersgleichung, der stochastischen Navier Stokes und der Reaktion Diffusionsgleichung an.