Erweiterte Kinematische Abbildungen und Bewegungungsplanung

Im Projekt Erweiterte Kinematische Abbildungen und Bewegungsplanung (EKIMAP) untersuchen wir einen neuen Ansatz für das einfache interaktive Design von Bewegungen welches zum Beispiel in der Computergraphik oder der Bewegungsplanung für Roboter von Nutzen sein kann. Die Grundidee besteht in der Erweiterung und Adaptierung von bekannten Techniken zum interaktiven Zeichnen und Manipulieren von Freiformkurven und -flächen am Computer. Der/Die Benutzer/in wählt interaktiv eine Reihe von Punkten, die Software erzeugt automatisch eine glatte approximierende oder interpolierende Kurve oder Fläche. Ähnliche Algorithmen zur Bewegungsplanung gibt es bereits, aber ihre Verwendung kann mühsam sein. Naive Versionen führen zu unerwünschten Verzerrungen der Objekte während der Bewegung. Raffiniertere Versionen erfordern manchmal aufwändige Berechnungen. Außerdem ist ein präzises Konzept für Approximation in Zusammenhang mit bewegten Objekten schwierig zu formulieren. Kurven und Flächen liegen normalerweise in einem dreidimensionalen umgebenden Raum. Bewegungen hingegen müssen in mehrdimensionale Räume eingebettet werden. Um die Position eines starren Körpers im Raum zu bestimmen, brauchen wir drei Koordinaten um einen seiner Punkte zu fixieren und drei weitere Koordinaten um seine räumliche Orientierung festzulegen. Das zeigt, dass wir zumindest sechs Dimensionen benötigen. Eine grundlegende Idee unseres Ansatzes geht noch weiter. Wir verwenden sogar sieben- oder zwölfdimensionale Räume. Das kompliziert die mathematische Beschreibung nicht, sondern vereinfacht sie sogar. Das Design von Bewegungen profitiert sehr von der auf diese Weise gewonnenen algebraischen und geometrischen Struktur. Wir stellen uns vor, dass ein/e Anwender/in unsere Methoden wie folgt verwendet. Er/Sie spezifiziert eine Reihe von Schlüsselpositionen eines Roboters. Eine Bewegung, die diese Positionen verbindet wird automatisch berechnet. Dabei werden eine Reihe von zusätzlichen Einschränkungen berücksichtigt, zum Beispiel Kollisionen mit Objekten der Umgebung, das Gleichgewicht oder die maximale Geschwindigkeit des Roboters etc. Ein solches Vorgehen ist sehr nützlich für innovative Herstellungsmethoden, wo Roboter eine Vielzahl verschiedener und komplexer Aufgaben erfüllen müssen. Die Möglichkeit, hochqualitative Bewegungen intuitiv und rasch erzeugen zu können ist in diesem Zusammenhang essentiell.

Das Forschungsprojekt Erweiterte Kinematische Abbildungen und Bewegungsplanungen wandte sich einer speziellen mathematischen Beschreibung von Euklidischen Bewegungen zu, den sogenannten kinematischen bzw. erweiterten kinematischen Abbildungen. Diese beschreiben Bewegungen von realen Objekten als Kurven oder Flächen in einem hochdimensionalen Raum, dem kinematischen Bildraum. Im Falle der kinematischen Abbildung liegen diese Objekte auf einer gekrümmten Fläche, der Study Quadrik. Diese Abbildung der Bewegungen auf Punkte dieser Quadrik und zurück ist eindeutig, allerdings schwer handhabbar für verschiedene Aufgaben (z.B. Bewegungsplanung) auf Grund der Krümmung dieser Fläche. Die erweiterte kinematische Abbildung hingegen betrachtet den gesamten umgebenden Raum dieser Quadrik mit, was zwar dazu führt, dass die Abbildung von Bewegungen in diesen Raum nicht mehr eindeutig ist, aber man erhält dafür einfachere Handhabbarkeit. Man könnte sich dies in geringeren Dimensionen so vorstellen: Man hat eine Kugel im dreidimensionalen Raum und den gesamten umgebenden Raum. Es ist mathematisch wesentlich einfacher irgendeine Kurve im Raum zu konstruieren, als eine Kurve zur Gänze auf der Kugel. Um Bewegungsplanung in diesem erweiterten kinematischen Bildraum machen zu können muss dieser besser verstanden und die Zusammenhänge mit den Bewegungen und erzeugenden Mechanismen besser verstanden werden. Daher haben wir uns im Projekt auf rationale Bewegungen und deren Eigenschaften beschränkt. Diese Art der Bewegungen hat die Eigenschaft, dass alle Bahnen von Punkten während der Bewegung auf rationalen Bahnen laufen. Die mathematische Darstellung im kinematischen Bildraum kann mit Hilfe von speziellen Polynomen erfolgen. Diese können im Allgemeinen, wie die Polynome, die wir aus der Schule kennen, in lineare Faktoren zerlegt werden. Im Falle der Betrachtung des gesamten kinematischen Bildraums können sich zusätzlich zu bereits bekannten Faktoren auch solche ergeben, die zu neuen mechanischen Gelenken führen, den sogenannten Darboux Gelenken. Diese sind die Kombination einer Drehung um eine Achse kombiniert mit einer harmonischen Schwingung entlang dieser Achse. Es gibt für diese neuen Gelenke allerdings keine brauchbare mechanische Verwirklichung. Doch während dieses Projektes konnte ein geschlossener Mechanismus gefunden werden, welcher eine derartige Bewegung vollführt und nur aus Dreh- bzw. Schubgelenken aufgebaut ist. In der Rückabbildung von kinematischem Bildraum in die räumlichen Bewegungsvorgänge verdoppelt sich im Allgemeinen der Grad der Bahnkurven, allerdings gibt es dafür Ausnahmen. Diese wurden bislang allerdings nicht vollständig verstanden. Im Projekt konnten algebraische und geometrische Bedingungen angegeben werden, sodass dieses außergewöhnliche Verhalten erklärbar wird. Eine weitere Betrachtung dieses erweiterten kinematischen Bildraumes als ein mathematisches Konstrukt über den dualen Zahlen (am ehesten vergleichbar mit den komplexen Zahlen) liefert noch mehr Aussagen über Bewegungen und ihre Annäherungen. Obwohl hier einige sehr eigenartige Phänomene auftreten ist diese Betrachtungsweise sicherlich die richtige geometrische Herangehensweise zur systematischen Betrachtung von speziellen lokalen Näherungskonstruktionen für Bewegungen.