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Geometrische Variationsprobleme aus der Stringtheorie

Geometric Variational Problems from String Theory

Volker Friedrich Branding (ORCID: 0000-0002-1535-1474)
  • Grant-DOI 10.55776/P30749
  • Förderprogramm Einzelprojekte
  • Status beendet
  • Projektbeginn 15.10.2017
  • Projektende 14.08.2021
  • Bewilligungssumme 233.384 €
  • Projekt-Website
  • E-Mail

Wissenschaftsdisziplinen

Mathematik (75%); Physik, Astronomie (25%)

Keywords

    Harmonic Maps, Wave Maps, Spin Geometry, Dirac-Harmonic Maps, Nonlinear Partial Differential Equations, Dirac-Type Operators

Abstract Endbericht

Die Stringtheorie betrachtet die Dynamik von eindimensionalen Fäden, die sich durch einen gekrümmten Raum bewegen. In Analogie dazu, dass sich Punktteilchen auf der kürzesten Verbindung zwischen zwei Punkten bewegen, soll die dabei überstrichene Fläche minimalen Flächeninhalt haben. Dieses Problem ist in der Mathematik, vor allem in der Differentialgeometrie, schon lange studiert worden: Eine Minimalfläche ist eine Fläche in einem (gekrümmten) Raum, welchen den Flächeninhalt minimiert, ein klassisches Beispiel sind Seifenhäute, die über einen Rahmen eingespannt sind. Zur mathematischen Formulierung dieses Problems wird die Variationsrechnung benutzt: Es wird das sogenannte Volumenfunktional betrachtet, welches jeder Fläche im Raum eine Zahl zuordnet. Mit den Methoden der geometrischen Analysis können dann die Flächen gefunden werden, die den kleinsten Flächeninhalt haben. In der Mathematik wird dies kritischer Punkt des Funktionals genannt. Ein großer mathematischer Vorteil des Volumenfunktionals ist, dass es nach unten beschränkt ist, da das Volumen einer Fläche nicht negativ sein kann. Für diese Klasse von Variationsproblemen existieren mächtige mathematische Werkzeuge. Auch die in der Stringtheorie auftretenden Variationsprobleme sind in der mathematischen Sprache der Differentialgeometrie formuliert. Diese sind jedoch deutlich komplizierter als das Volumenfunktional, da sie häufig nach unten unbeschränkt sind. Im ersten Teil des Projekts sollen die geometrischen und analytischen Eigenschaften von diversen Variationsproblemen aus der Stringtheorie studiert werden. Zur Untersuchung der dabei auftretenden unbeschränkten Funktionale ist es erforderlich, neuartige mathematische Regularisierungsmethoden zu entwickeln. Diese überführen unbeschränkte Funktionale in beschränkte, für die es bereits viele mathematische Werkzeuge gibt. Die schwierige Frage ist, ob man aus dem regularisierten Problem auch etwas über das ursprüngliche schließen kann. Im zweiten Teil des Projekts sollen jene Gleichungen studiert werden, welche die Dynamik eines Superstrings in einem gekrümmten Raum beschreiben. Formal handelt es sich bei diesen Gleichungen um ein System aus einer linearen und einer nicht-linearen Wellengleichung. Lineare Wellengleichungen beschreiben die ungestörte Ausdehnung von Wellen, wie z.B. Schallwellen. Betrachtet man hingegen Wellengleichungen, die eine Nichtlinearität haben, so können deren Lösungen Singularitäten entwickeln: Im Falle der Schallwellen wäre dies z.B. das Auftreten von Überschall. Für beide Gleichungen, welche die Dynamik des Superstrings beschreiben, gibt es bereits viele Resultate in der mathematischen Literatur, sowohl aus den Gebieten der Analysis als auch der Geometrie. In diesem Projekt wollen wir vorhandene Methoden geschickt kombinieren und erweitern. Die hier auftretenden Nichtlinearitäten sind vom mathematischen Standpunkt aus betrachtet beherrschbar. Es ist zu erwarten, dass diese Gleichungen sowohl globale Lösungen besitzen, als auch Lösungen, die eine Singularität entwickeln. Die spannende Frage hierbei ist, unter welchen Bedingungen eine Singularität entstehen kann. Weiterhin soll erforscht werden, wie die Geometrie des umgebenden Raumes die Dynamik des Superstrings beeinflusst.

Das Projekt Geometrische Variationsprobleme aus der Stringtheorie hat verschiedene Wirkungsfunktionale aus der Stringtheorie mit rigorosen mathematischen Methoden untersucht. In der theoretischen Physik ist die Stringtheorie ein aussichtsreicher Kandidat für eine sogenannte Theory of everything, also eine Theorie, die alle Phänomene in unserem Universum beschreiben kann. Ihre zentrale Annahme ist, dass Elementarteilchen nicht punktförmig sind, sondern durch eindimensionale Fäden, die sogenannten Strin gs beschrieben werden können. Wenn sich ein solcher String durch unser Universum bewegt, dann überstreicht er eine Fläche, welche Weltfläche genannt wird. In Analogie dazu, dass sich Punktteilchen immer auf Kurven kürzester Länge bewegen, fordert man, das s die Weltfläche eines Strings minimalen Flächeninhalt haben soll. Das Universum, in dem sich der String bewegt, kann durch die Einstein-Gleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie modelliert werden, und wird im Allgemeinen gekrümmt sein. Schon aus diesem Grund kann man sich gut vorstellen, dass die Bedingung, dass der String eine minimale Weltfläche hat, nicht immer erfüllt sein kann und daher ein schwieriges mathematisches Problem darstellt. Auf der mathematischen Seite drückt sich diese Schwierigkeit durch die Tatsache aus, dass die Bewegung des Strings durch eine nichtlineare partielle Differentialgleichung beschrieben wird. Durch die Nichtlinearität könnte es z.B. passieren, dass die Gleichungen nur Lösungen zulassen, welche für einen endlichen Zeitraum existieren und anschließend eine Singularität bilden. Solche Lösungen wären aber für die theoretische Physik uninteressant, da dies bedeuten würde, dass solche Strings keine stabilen, also langlebige, Teilchen modellieren können. Eine weitere Schwierigkeit kommt daher, dass die meisten realistischen Modelle der Stringtheorie noch zusätzliche Beiträge enthalten, die zu sogenannten Superstringtheorien führen. Ein zentrales Resultat dieses Projekts ist nun, dass die Gleichungen, welche die Dynamik einer großen Klasse von Superstringtheorien beschreiben, lösbar sind unter der Annahme, dass sich die Weltfläche des Strings schnell genug ausdehnt. Die Bedingung, dass sich die Weltfläche genügend stark ausdehnt unterdrückt die nichtlinearen Terme in den verschiedenen Gleichungen der Superstringtheorie und somit kann die Lösung für alle Zeiten existieren. Im Rahmen dieses Projektes wurden zusätzlich verschiedene Bedingungen (z.B. an die Krümmung des Universums) gefunden, unter welchen die Gleichungen, die einen Superstring beschreiben, keine Lösungen haben. Solche Bedingungen sind natürlich auch für die theoretische Physik sehr wichtig, da diese Hinweise darauf geben, unter welchen Voraussetzungen die Stringtheorie keine Lösungen zulässt.

Forschungsstätte(n)
  • Universität Wien - 100%
Internationale Projektbeteiligte
  • Jürgen Jost, MPI Leipzig - Deutschland
  • Klaus Kröncke, Universität Hamburg - Deutschland
  • Christian Bär, Universität Potsdam - Deutschland
  • Bernd Ammann, Universität Regensburg - Deutschland

Research Output

  • 191 Zitationen
  • 38 Publikationen
  • 1 Wissenschaftliche Auszeichnungen
Publikationen
  • 2020
    Titel Harmonic maps with torsion
    DOI 10.1007/s11425-020-1744-9
    Typ Journal Article
    Autor Branding V
    Journal Science China Mathematics
    Seiten 1373-1390
    Link Publikation
  • 2020
    Titel On finite energy solutions of 4-harmonic and ES-4-harmonic maps
    DOI 10.48550/arxiv.2009.07068
    Typ Preprint
    Autor Branding V
  • 2018
    Titel A Liouville-type theorem for biharmonic maps between complete Riemannian manifolds with small energies
    DOI 10.1007/s00013-018-1189-6
    Typ Journal Article
    Autor Branding V
    Journal Archiv der Mathematik
    Seiten 329-336
    Link Publikation
  • 2018
    Titel On interpolating sesqui-harmonic maps between Riemannian manifolds
    DOI 10.48550/arxiv.1801.09562
    Typ Preprint
    Autor Branding V
  • 2018
    Titel A nonexistence theorem for proper biharmonic maps into general Riemannian manifolds
    DOI 10.48550/arxiv.1806.11441
    Typ Preprint
    Autor Branding V
  • 2018
    Titel A vanishing result for the supersymmetric nonlinear sigma model in higher dimensions
    DOI 10.1016/j.geomphys.2018.08.003
    Typ Journal Article
    Autor Branding V
    Journal Journal of Geometry and Physics
    Seiten 1-10
    Link Publikation
  • 2018
    Titel A note on twisted Dirac operators on closed surfaces
    DOI 10.1016/j.difgeo.2018.05.006
    Typ Journal Article
    Autor Branding V
    Journal Differential Geometry and its Applications
    Seiten 54-65
    Link Publikation
  • 2018
    Titel Global existence of Dirac-wave maps with curvature term on expanding spacetimes
    DOI 10.1007/s00526-018-1389-8
    Typ Journal Article
    Autor Branding V
    Journal Calculus of Variations and Partial Differential Equations
    Seiten 119
    Link Publikation
  • 2021
    Titel On Finite Energy Solutions of 4-harmonic and ES-4-harmonic Maps
    DOI 10.1007/s12220-021-00610-7
    Typ Journal Article
    Autor Branding V
    Journal The Journal of Geometric Analysis
    Seiten 8666-8685
    Link Publikation
  • 2021
    Titel Unique continuation properties for polyharmonic maps between Riemannian manifolds
    DOI 10.48550/arxiv.2101.01066
    Typ Preprint
    Autor Branding V
  • 2021
    Titel A structure theorem for polyharmonic maps between Riemannian manifolds
    DOI 10.1016/j.jde.2020.11.046
    Typ Journal Article
    Autor Branding V
    Journal Journal of Differential Equations
    Seiten 14-39
    Link Publikation
  • 2023
    Titel On the equivariant stability of harmonic self-maps of cohomogeneity one manifolds
    DOI 10.1016/j.jmaa.2022.126635
    Typ Journal Article
    Autor Branding V
    Journal Journal of Mathematical Analysis and Applications
    Seiten 126635
    Link Publikation
  • 2018
    Titel Unique continuation theorems for biharmonic maps
    DOI 10.48550/arxiv.1808.09792
    Typ Preprint
    Autor Branding V
  • 2018
    Titel A global weak solution to the full bosonic string heat flow
    DOI 10.1007/s00028-018-0462-2
    Typ Journal Article
    Autor Branding V
    Journal Journal of Evolution Equations
    Seiten 1819-1841
    Link Publikation
  • 2018
    Titel Correction to: The heat flow for the full bosonic string
    DOI 10.1007/s10455-017-9591-z
    Typ Journal Article
    Autor Branding V
    Journal Annals of Global Analysis and Geometry
    Seiten 283-286
    Link Publikation
  • 2018
    Titel Energy methods for Dirac-type equations in two-dimensional Minkowski space
    DOI 10.1007/s11005-018-1107-7
    Typ Journal Article
    Autor Branding V
    Journal Letters in Mathematical Physics
    Seiten 295-325
    Link Publikation
  • 2018
    Titel Stable cosmological Kaluza-Klein Spacetimes
    DOI 10.48550/arxiv.1804.04934
    Typ Preprint
    Autor Branding V
  • 2018
    Titel A vanishing result for the supersymmetric nonlinear sigma model in higher dimensions
    DOI 10.48550/arxiv.1805.02216
    Typ Preprint
    Autor Branding V
  • 2021
    Titel Unique continuation properties for polyharmonic maps between Riemannian manifolds
    DOI 10.4153/s0008414x21000420
    Typ Journal Article
    Autor Branding V
    Journal Canadian Journal of Mathematics
    Seiten 1-28
    Link Publikation
  • 2020
    Titel Harmonic maps with torsion
    DOI 10.48550/arxiv.2002.06880
    Typ Preprint
    Autor Branding V
  • 2020
    Titel Some analytic results on interpolating sesqui-harmonic maps
    DOI 10.1007/s10231-020-00955-w
    Typ Journal Article
    Autor Branding V
    Journal Annali di Matematica Pura ed Applicata (1923 -)
    Seiten 2039-2059
    Link Publikation
  • 2019
    Titel On Interpolating Sesqui-Harmonic Maps Between Riemannian Manifolds
    DOI 10.1007/s12220-018-00130-x
    Typ Journal Article
    Autor Branding V
    Journal The Journal of Geometric Analysis
    Seiten 248-273
    Link Publikation
  • 2022
    Titel Dirac-harmonic maps with potential
    DOI 10.1007/s11005-022-01558-7
    Typ Journal Article
    Autor Branding V
    Journal Letters in Mathematical Physics
    Seiten 67
    Link Publikation
  • 2020
    Titel The stress–energy tensor for polyharmonic maps
    DOI 10.1016/j.na.2019.111616
    Typ Journal Article
    Autor Branding V
    Journal Nonlinear Analysis
    Seiten 111616
    Link Publikation
  • 2020
    Titel Combined treatment of phonon scattering by electrons and point defects explains the thermal conductivity reduction in highly-doped Si
    DOI 10.1039/c9ta11424f
    Typ Journal Article
    Autor Dongre B
    Journal Journal of Materials Chemistry A
    Seiten 1273-1278
    Link Publikation
  • 2020
    Titel A nonexistence theorem for proper biharmonic maps into general Riemannian manifolds
    DOI 10.1016/j.geomphys.2019.103557
    Typ Journal Article
    Autor Branding V
    Journal Journal of Geometry and Physics
    Seiten 103557
    Link Publikation
  • 2020
    Titel On the Evolution of Regularized Dirac-Harmonic Maps from Closed Surfaces
    DOI 10.1007/s00025-020-1178-5
    Typ Journal Article
    Autor Branding V
    Journal Results in Mathematics
    Seiten 57
    Link Publikation
  • 2020
    Titel Higher order energy functionals
    DOI 10.1016/j.aim.2020.107236
    Typ Journal Article
    Autor Branding V
    Journal Advances in Mathematics
    Seiten 107236
    Link Publikation
  • 2019
    Titel Unique continuation theorems for biharmonic maps
    DOI 10.1112/blms.12240
    Typ Journal Article
    Autor Branding V
    Journal Bulletin of the London Mathematical Society
    Seiten 603-621
    Link Publikation
  • 2019
    Titel Stable Cosmological Kaluza–Klein Spacetimes
    DOI 10.1007/s00220-019-03319-5
    Typ Journal Article
    Autor Branding V
    Journal Communications in Mathematical Physics
    Seiten 1087-1120
    Link Publikation
  • 2019
    Titel Dirac-harmonic maps with potential
    DOI 10.48550/arxiv.1912.01885
    Typ Preprint
    Autor Branding V
  • 2019
    Titel Nonlinear Dirac Equations, Monotonicity Formulas and Liouville Theorems
    DOI 10.1007/s00220-019-03608-z
    Typ Journal Article
    Autor Branding V
    Journal Communications in Mathematical Physics
    Seiten 733-767
    Link Publikation
  • 2019
    Titel The supersymmetric nonlinear sigma model as a geometric variational problem
    Typ Postdoctoral Thesis
    Autor Volker Branding
  • 2019
    Titel Higher order energy functionals
    DOI 10.48550/arxiv.1906.06249
    Typ Preprint
    Autor Branding V
  • 2019
    Titel Some analytic results on interpolating sesqui-harmonic maps
    DOI 10.48550/arxiv.1907.04167
    Typ Preprint
    Autor Branding V
  • 2019
    Titel The stress-energy tensor for polyharmonic maps
    DOI 10.48550/arxiv.1903.06432
    Typ Preprint
    Autor Branding V
  • 2019
    Titel A structure theorem for polyharmonic maps between Riemannian manifolds
    DOI 10.48550/arxiv.1901.08445
    Typ Preprint
    Autor Branding V
  • 2017
    Titel A Liouville-type theorem for biharmonic maps between complete Riemannian manifolds with small energies
    DOI 10.48550/arxiv.1712.03870
    Typ Preprint
    Autor Branding V
Wissenschaftliche Auszeichnungen
  • 2020
    Titel Promotion Award of the City of Vienna 2020
    Typ Research prize
    Bekanntheitsgrad Regional (any country)

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