Affine isoperimetrische Ungleichungen

Die klassische Euklidische isoperimetrische Ungleichung gehört zu den bedeutendsten Ungleichungen der geometrischen Analysis und hat zahlreiche Anwendungen in der reinen und angewandten Mathematik. Im Alltagsleben erklärt sie zum Beispiel, warum die Oberfläche einer Seifenblase bei vorgegebenem Luftvolumen im Inneren minimiert wird, wenn die Blase kugelförmig ist. Die mathematische Aussage der Ungleichung gilt in viel größerer Allgemeinheit, etwa auch in zwei und mehr als drei Dimensionen. Im Laufe der letzten 20 Jahre wurden eine Reihe von Ungleichungen isoperimetrischen Typs für geometrische Größen gezeigt, die nicht nur invariant unter der Euklidischen Transformations- gruppe, also Translationen und Rotationen, sind, sondern auch unter größeren Transformations- gruppen. Solche Ungleichungen wurden als affine isoperimetrische Ungleichungen bekannt. Die spannenden Entwicklungen in der Theorie dieser Ungleichungen haben auch mehr und mehr klar gemacht, dass Ungleichungen für affin-invariante Größen stärker sind, als ihre oft besser bekannten Euklidischen Verwandten. Die Fortschritte der letzten Zeit waren in vielen Fällen mit der Lp Erweiterung der klassischen Brunn-Minkowski Theorie konvexer Mengen verbunden. Ein Ziel des vorgeschlagenen Forschungsprogrammes ist es neue Werkzeuge, die gerade entwickelt wurden, zu verwenden, um offene Probleme aus der Lp Brunn-Minkowski Theorie, speziell für die kritischen Werte p < 1, zu attackieren. Dies beinhaltet einerseits neue Angriffe auf die lange offene Lp Erweiterung von Busemanns Schnittungleichung und andererseits auf die vor kurzem vermutete log-Brunn-Minkowski Ungleichung. Die Theorie affiner isoperimetrischer Ungleichungen war lange Zeit auf flache Umgebungsräume beschränkt. Vor kurzem wurde jedoch eine Version der berühmten Blaschke-Santal Ungleichung auf der Euklidischen Einheitssphäre gezeigt und Analoga von Blaschkes Affinoberfläche im sphärischen und hyperbolischen Räumen entdeckt. Ein Hauptziel dieses Forschungsvorhabens ist die systematische Verallgemeinerung affiner Invarianten auf nicht-Euklidische Räume und der Beweis isoperimetrischer Ungleichung für diese Größen, sowie das in Bezug Setzen der neuen Ungleichungen mit klassischen Ergebnissen. Tatsächlich gab es nie eine bessere Zeit, um in diese Forschungsrichtung zu investieren, wo jeder Durchbruch das Potenzial hat nicht nur unser Verständnis klassischer affin isoperimetrischer Ungleichungen neu zu formen, sondern auch die Tür für eine Vielzahl neuer Anwendungen in PDEs, in der Banachraum Geometrie und in der geometrischen Tomographie zu öffnen.

Die klassische Euklidische isoperimetrische Ungleichung, die zum Beispiel erklärt, warum die Oberfläche einer Seifenblase bei vorgegebenem Luftvolumen im Inneren minimiert wird, wenn die Blase kugelförmig ist, gehört zu den bedeutendsten Ungleichungen der geometrischen Analysis. Im Laufe der letzten Jahrzehnte wurden eine Reihe von Ungleichungen isoperimetrischen Typs für geometrische Größen gezeigt, die nicht nur invariant unter der Euklidischen Transformationsgruppe, also Translationen und Rotationen, sind, sondern auch unter größeren Gruppen affiner und linearer Transformationen. Solche Ungleichungen wurden als affine isoperimetrische Ungleichungen bekannt. Die Hauptresultate dieses Projektes können grob in zwei Kategorien eingeteilt werden. Einerseits konnte gezeigt werden, dass viele klassische Ungleichungen der Euklidischen und affinen Geometrie für viel größere Klassen von geometrischen Größen gelten als bisher verstanden wurde. Diese neuen isoperimetrischen Ungleichungen stellen entweder direkte grundlegende Relationen zwischen gewissen (invarianten) Bewertungen dar, wie die Hodge-Riemann Relationen, oder die in den Ungleichungen involvierten geometrischen Funktionale sind von sogenannten Minkowski Bewertungen abgeleitet. Andererseits konnte die Beschränkung gewisser affiner isoperimetrischer Ungleichungen auf flache Umgebungsräume aufgehoben werden. Genauer wurde ein sphärisches Analogon der polaren Busemann-Petty Ungleichung entdeckt und eine randomisierte Version der sphärischen Blaschke-Santal Ungleichung gezeigt. Darüber hinaus konnte die volle Leistungsfähigkeit affiner Ungleichungen im Vergleich zu deren Euklidischen Gegenstücken enthüllt werden. So wurde zum Beispiel gezeigt, dass die berühmte Blaschke-Santal Ungleichung, die Projektionenungleichung von Petty und die vor kurzem bewiesenen Ungleichungen für affine Quermaßintegrale signifikant stärker sind als eine große Familie von isoperimetrischen Ungleichungen für Minkowski Bewertungen, die mit der Bewegungsgruppe vertauschen. Die zentrale Idee im Beweis dieser Resultate war es, neue Faltungsdarstellungen für Minkowski Bewertungen auszunutzen, die sich als maßgeschneidert für die Anwendung von Werkzeugen der harmonischen und Funktionalanalysis herausgestellt haben.