Vorzeichenvektoren in der Theorie chemischer Netzwerke

Mathematik spielt eine zentrale Rolle beim Verständnis der Komplexität biochemischer Netzwerke und ist ein Grundstein der modernen Systembiologie. Im geplanten Projekt untersuchen wir chemische Reaktionsnetzwerke mit verallgemeinerter Massenwirkungs- kinetik (vMWK) und die resultierenden dynamischen Systeme. Insbesondere interessieren wir uns für positive stationäre Zustände und deren Stabilität. Dabei erweitern wir die Anwendbarkeit der Theorie chemischer Reaktionsnetzwerke auf Netzwerke, die nicht der klassischen Massenwirkungskinetik (MWK) folgen. Die angestrebten Ergebnisse sind nicht nur unabhängig von den Ratenkonstanten, wie in der klassischen Theorie, sondern auch robust bezüglich der Reaktionsordnungen, ausgedrückt durch Vorzeichenvektoren. Unsere Resultate für Netzwerke mit vMWK sind darüberhinaus relevant für dynamisch äquivalente Netzwerke mit MWK, auf die sich die klassische Theorie nicht anwenden lässt. Technisch gesprochen sind wir an positiven stationären Zuständen interessiert, die durch binomiale Gleichungen gegeben sind und eine monomiale Parametrisierung erlauben. Eine Parametrisierung der stationären Zustände ist oft eine Voraussetzung bei der Analyse von Multistationarität und Robustheit. Dementsprechend können die angestrebten Ergebnisse auf biochemische Netzwerke aus der Literatur angewendet werden (entweder direkt oder via dynamische Äquivalenz). Im Sinne der reellen algebraischen Geometrie studieren wir positive Lösungen von Systemen verallgemeinerter polynomialer Gleichungen und Ungleichungen. Positive Lösungen polynomialer (Un)gleichungen sind für viele Gebiete relevant: von algebraischer Statistik und Kontrolltheorie bis zu Ökonomie und Robotik. Dabei nimmt die klassische Theorie fixe ganzzahlige Exponenten an und betrachtet Störungen der Koeffizienten (wie in der Vorzeichenregel von Descartes). Als unsere Hauptinnovation erlauben wir reelle Exponenten und betrachten Störungen von Koeffizienten und Exponenten. Unsere bisherigen Resultate können als erste multivariate Verallgemeinerungen der Vorzeichenregel von Descartes angesehen werden. Wir werden damit fortfahren, die Konsequenzen unserer Resultate (in der Theorie chemischer Reaktionsnetzwerke) für die verallgemeinerte reelle algebraische Geometrie zu untersuchen.

In diesem Folgeprojekt haben wir unsere umfassende Analyse von Reaktionsnetzwerken mit verallgemeinerter Massenwirkungskinetik und der resultierenden dynamischen Systeme fortgesetzt. Insbesondere untersuchten wir positive stationäre Zustände und deren Stabilität. Hintergrund: Reaktionsnetzwerke sind ein Modellierungsrahmen, der in diversen Bereichen der Chemie, in biologischen Disziplinen wie Ökologie und Epidemiologie und sogar in Ökonomie und Ingenieurwissenschaften verwendet wird. Tatsächlich kann jedes polynomielle/"power-law" dynamische System (mit ganzzahligen/reellen Exponenten) als Reaktionsnetzwerk mit (verallgemeinerter) Massenwirkungskinetik (MWK/vMWK) geschrieben werden. Solche Modelle hängen typischerweise von zahlreichen unbekannten Parametern ab, wie zum Beispiel den Ratenkonstanten. Dennoch gibt es unter der klassischen Annahme von MWK große Klassen von Netzwerken, bei denen die qualitative Dynamik nicht von den Modellparametern abhängen. Ein fundamentales Resultat besagt, dass es für alle Ratenkonstanten ein eindeutiges, stabiles, "komplex-balanziertes" positives Gleichgewicht in jeder vorwärtsinvarianten Menge gibt, wenn das Netzwerk (schwach) reversibel ist und eine "Defizienz" von null aufweist. In früheren Arbeiten hatten wir dieses Defizienz-Null-Theorem auf vMWK erweitert, insbesondere hatten wir die eindeutige Existenz eines komplex-balanzierten Gleichgewichts (in jeder invarianten Menge, für alle Ratenkonstanten) mittels Vorzeichenvektor-Bedingungen charakterisiert, die stöchiometrische Koeffizienten und kinetische Ordnungen in Beziehung setzen. Ergebnisse: In diesem Projekt haben wir die Stabilität von komplex-balanzierten Gleichgewichten und die Nichtexistenz anderer stationärer Zustände behandelt. Insbesondere fanden wir neue Vorzeichen-Bedingungen, die die lineare Stabilität aller komplex-balanzierten Gleichgewichte für alle Ratenkonstanten garantieren. Technisch basieren unsere Ergebnisse auf einer neuen Zerlegung der Laplace Matrix des Graphen (und einer Zerlegung des Zustandsraums in "Strata", d.h. in Regionen mit einer bestimmten monomialen Ordnung). Alternativ verwendeten wir eine Zyklenzerlegung des Graphen. Um die eindeutige Existenz von "torischen" stationären Zuständen (nicht notwendigerweise komplex-balanzierten Gleichgewichten) und die Existenz von stationären Zuständen (ohne Eindeutigkeit) zu untersuchen, betrachteten wir positive Nullstellen parametrisierter Systeme von verallgemeinerten polynomialen Gleichungen (und sogar Ungleichungen) abstrakt, d.h. unabhängig von Reaktionsnetzwerken. Tatsächlich legten wir den Grundstein für einen neuartigen Ansatz in der "positiven algebraischen Geometrie". Zunächst identifizierten wir die entscheidenden geometrischen Objekte verallgemeinerter multivariater Polynome, nämlich das "Koeffizienten-Polyeder" und zwei lineare Unterräume, die monomiale Differenzen und Abhängigkeiten repräsentieren. Zweitens zeigten wir, dass parametrisierte Systeme von verallgemeinerten polynomialen Gleichungen als binomiale (!) Gleichungen auf dem Koeffizienten-Polyeder geschrieben werden können (abhängig von Monomen in den Parametern). Unsere Ergebnisse ermöglichen signifikante Beiträge zur Theorie der reellen "Fewnomials" und erweitern die Anwendbarkeit der Reaktionsnetzwerk-Theorie (von MWK zu vMWK). Schließlich entwickelten wir Algorithmen zur Berechnung von elementaren Vektoren und Vorzeichenvektoren. Insbesondere können wir jetzt die Bedingungen für die Existenz eines eindeutigen komplex-balanzierten Gleichgewichts überprüfen, wie sie durch unser verallgemeinertes Defizienz-Null-Theorem gegeben sind.