Arithmetik von Ringen und ihrer Ideale und Moduln

andnis von mathematischen Objekten zu erhalten, werden diese oft Um ein besseres Verst in einfachere Objekte zerlegt, die keine weiteren Zerlegungen mehr zulassen. Hier sind zwei Beispiele. Bekanntlich kann man jede positive naturliche Zahl als Produkt von Primzahlen (irreduziblen Zahlen) schreiben, und zwar auf eindeutige Art und Weise. Weiters kann man jedes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten als Produkt von irreduziblen Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten schreiben, und zwar wiederum auf eindeutige Art und Weise. Ringe sind algebraische Strukturen von zentraler Bedeutung in der Mathematik. Ein Ring ist eine Menge von Elementen mit einer Addition und einer Multiplikation, die ahnlichen Rechen- regeln genugen wie die Menge (der Ring) der gewohnlichen ganzen Zahlen oder die Menge (der Ring) der Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten. In einer uberwaltigenden Anzahl von Fallen besitzt jedes Element eines abstrakten Ringes (oder einer Halbgruppe) wiederum eine Faktorisierung in irreduzible Elemente. Aber im allgemeinen geht die Eindeutigkeit verloren. Betrachten wir Polynome mit nicht-negativen ganzzahligen Koeffizienten. Jedes derartige Poly- nom laßt sich als Produkt von irreduziblen Polynomen mit nicht-negativen ganzzahligen Koef- fizienten schreiben, aber solche Faktorisierungen brauchen nicht eindeutig zu sein. Ein Hauptziel dieses Projektes ist es, die Nicht-Eindeutigkeit von Faktorisierungen zu studieren, sie durch arithmetische Invarianten zu beschreiben, und die dabei auftretenden Phanomene von einem strukturellen Standpunkt her zu verstehen. Langenmengen sind zentrale arithmetische Invarianten. Sei R ein Ring und a ein Element von R. Ist a = u1 . . . uk , mit einer positiven Zahl k und irreduziblen Elementen u1 , . . . , uk aus R, dann heißt k eine Faktorisierungslange von a und die Menge L(a) aller moglichen Fak- torisierunglangen von a ist die Langenmenge von a. Wenn es auch nur ein Element b gibt, dessen Langenmenge mehr als ein Element enthalt, so gibt es fur jede positive Zahl n ein Element bn des Ringes, dessen Langenmenge mehr als n Elemente enthalt. Sehr oft sind Langenmengen eine Art verallgemeinerter arithmetischer Progressionen (eine arithmetische Progression ist eine Menge der Form {a, a + d, a + 2d, a + 3d, . . . , a + kd}, wobei d die Differenz der arithmetischen Progression ist). Eines der Ziele dieses Projektes ist es, die Struktur von Langenmengen fur wichtige Klassen von Ringen zu studieren. 1

Dieses Projekt war der Grundlagenforschung in der Algebra (einem Teilgebiet der Mathematik) gewidmet. Wir beschreiben zunächst die Problemstellung in allgemeiner Sprache und gehen danach auf erzielte Resultate ein. Um ein besseres Verständnis von mathematischen Objekten zu erhalten, werden diese oft in einfachere Objekte zerlegt, die keine weiteren Zerlegungen mehr zulassen. Hier sind zwei Beispiele. Bekanntlich kann man jede positive natürliche Zahl als Produkt von Primzahlen (irreduziblen Zahlen) schreiben, und zwar auf eindeutige Art und Weise. Weiters kann man jedes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten als Produkt von irreduziblen Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten schreiben, und zwar wiederum auf eindeutige Art und Weise. Ringe sind algebraische Strukturen von zentraler Bedeutung in der Mathematik. Ein Ring ist eine Menge von Elementen mit einer Addition und einer Multiplikation, die ähnlichen Rechen- regeln genügen wie die Menge (der Ring) der gewöhnlichen ganzen Zahlen oder die Menge (der Ring) der Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten. In einer überwältigenden Anzahl von Fällen besitzt jedes Element eines abstrakten Ringes (oder einer Halbgruppe) wiederum eine Faktorisierung in irreduzible Elemente. Aber im allgemeinen geht die Eindeutigkeit verloren. Betrachten wir Polynome mit nicht-negativen ganzzahligen Koeffizienten. Jedes derartige Polynom läßt sich als Produkt von irreduziblen Polynomen mit nicht-negativen ganzzahligen Koeffizienten schreiben, aber solche Faktorisierungen brauchen nicht eindeutig zu sein. Nun zu den Ergebnissen in diesem Projekt. Wir haben die Nicht-Eindeutigkeit von Faktorisierungen in einer großen Klasse von Ringen studiert (genauer: zum Beispiel in Idealhalbgruppen in Polynomringen); diese durch arithmetische Invarianten beschrieben (genauer: zum Beispiel mit Hilfe von Längenmengen); und dadurch manche der auftretenden Phänomene von einem strukturellen Standpunkt her besser erfaßt (genauer: zum Beispiel durch Fortschritte im Charaktersierungsproblem von Krullringen). Weiters wurde (gemeinsam mit einem Kollegen aus den USA) mit der Arbeit an einem Lehrbuch zu diesem Themenkreis begonnen.