Anwendungen von parabolischen Geometrien und BGG Sequenzen

Das Projekt ist in der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der reinen Mathematik, angesiedelt. In der Differentialgeometrie werden Ideen der klassischen Geometrie in vielfältiger Weise in höhere Dimensionen und auf große Klassen von Räumen verallgemeinert. Diese Verallgemeinerungen bauen auf allgemeine Versionen der Differential- und Integralrechnung auf, was Verbindungen zur mathematischen Analysis liefert. Ein Beispiel für die betroffenen geometrischen Ideen sind verschiedene Versionen des Begriffs von Krümmung. Über die allgemeine Relativitätstheorie, die Gravitation als Krümmung der Raumzeit beschreibt, haben viel Teile der Differentialgeometrie Verbindungen zur Physik. Die im Rahmen des Projekts studierten geometrischen Strukturen fallen großtei ls in die Klasse der sogenannten parabolischen Geometrien. In diesem Teil der Differentialgeometrie spielen Betrachtungen über Symmetrien eine wichtige Rolle, was eine Verbindung zu anderen Teilgebieten der Mathematik, insbesondere der Theorie der Lie Grup pen und Lie Algebren liefert. Neben der allgemeinen Relativitätstheorie haben parabolische Geometrien auch Bezüge zu anderen Teilgebieten der theoretischen Physik, insbesondere zur Quantenfeldtheorie. Für das Studium parabolischer Geometrien gibt es eine Vielzahl effizienter Methoden, die über die letzten Jahrzehnte in intensiver internationaler Forschungsarbeit entwickelt wurden. Der Projektleiter war an mehreren zentralen Aspekten dieser Entwicklungen intensiv beteiligt. Im Rahmen des Projekts sollen diese Methoden teilweise weiter entwickelt werden, im Zentrum des Interesses stehen aber neue Anwendungsmöglichkeiten für die Theorie der parabolischen Geometrien auf mehrere derzeit hochaktive Forschungsgebiete der reinen Mathematik, zum Teil auch jenseits der Differentialgeometrie, sowie der theoretischen Physik.

Inhalt des Projekts war das Studium gewisser Differentialoperatoren, die ihren Ursprung in der Betrachtung von parabolischen Geometrien, einer Klasse von eher exotische geometrischen Strukturen, haben. Spezielle Beispiele dieser Operatoren sind aber auch in der Riemannschen Geometrie, der allgemeinen Relativitätstheorie und in der angewandten Mathematik (insbesondere in der Theorie elastischer Medien) von Interesse. In den letzten Jahren hat sich gezeigt, dass der konzeptuelle Zugang zum Studium dieser Operatoren mit Hilfe von Darstellungstheorie, der beim Studium von parabolischen Geometrien entwickelt wurde, auch für die anderen oben genannten Gebiete sehr relevant ist und auch dort neue Ideen und Resultate liefert. Im Rahmen des Projekts wurden sowohl die Theorie der parabolischen Geometrien weiter entwickelt, als auch Resultate bewiesen, die für die oben genannten Anwendungsgebiete relevant sind und wichtige Fortschritte auf diesen Gebieten darstellen. Das wird insbesondere durch Publikationen der Resultate in Top-Journalen sowohl aus dem Bereich der mathematischen Physik als auch aus dem Bereich der reinen und der angewandten Mathematik belegt.