Geometrische Analysis von Biwave Maps

Wellengleichungen können erfolgreich eingesetzt werden, um vielfältige physikalischen Phänomene zu beschreiben: So können z. B. die Schwingung einer Seite oder die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen im Vakuum durch eine lineare Wellengleichung zweiter Ordnung modelliert werden. Die Tatsache, dass die Wellengleichung linear ist, führt dazu, dass ihre Lösungen für alle Zeiten existieren, in diesem Fall nennt man die Lösung global. Betrachtet man hingegen eine nichtlineare Wellengleichung, so können nach endlicher Zeit Singularitäten auftreten. Als Beispiel seien hier die Einstein-Gleichungen genannt, welche die Dynamik unseres Universums beschreiben. Die Lösungen der Einstein-Gleichungen entwickeln im Allgemeinen nach endlicher Zeit eine Singularität, welche sich z.B. in der Existenz von schwarzen Löchern manifestiert. Eine weitere nichtlineare Wellengleichung zweiter Ordnung, die bereits vielfach untersucht wurde, ist die Wave Maps Gleichung. Diese Gleichung findet vielfältige Anwendungen in der theoretischen Physik, z. B. wird sie in der Quantenfeldtheorie erfolgreich zur Beschreibung bestimmter Teilchen benutzt. Eine interessante Eigenschaft von Lösungen der Wave Maps Gleichung ist, dass diese sowohl globale Lösungen, als auch solche, die nach endlicher Zeit eine Singularität entwickeln, zulässt. Dieses Projekt untersucht eine nichtlineare Wellengleichung vierter Ordnung, welche die Wave Maps Gleichung verallgemeinert, die sogenannte Biwave Maps Gleichung. Diese wird unter anderem in der Elastizitätstheorie verwendet, um die Dynamik eines elastischen Materials zu beschreiben. Stellt man sich z.B. eine Gummimembran vor, die an den Seiten fixiert wird, so kann die Gleichung für Biwave Maps darüber Auskunft geben, wie sich die Gummimembran mit der Zeit verändern wird, wenn man auf diese mit einer äußeren Kraft einwirkt. Die Biwave Maps Gleichung hängt also auch von der Geometrie ab. Eine besondere Schwierigkeit in der mathematischen Untersuchung der Biwave Maps Gleichung liegt in der Tatsache, dass auch jede Wave Map eine Lösung der Biwave Maps Gleichung ist. Es ist aber zu erwarten, dass es außer Wave Maps zusätzliche Lösungen gibt und es ist eine wesentliche Aufgabe dieses Projekts diese zu finden. Die zentralen Fragestellungen des Projekts lassen sich wie folgt zusammenfassen: 1)Was sind die grundlegenden mathematischen Eigenschaften der Biwave Maps Gleichung? 2)Welche mathematische Beziehung besteht zwischen Wave Maps und Biwave Maps? 3)Unter welchen Voraussetzungen (z. B. an die Geometrie) existiert eine Lösung der Biwave Maps Gleichung für alle Zeiten? Ist es sogar möglich, die Biwave Maps Gleichung unter bestimmten Voraussetzungen explizit zu lösen? 4)Wann entwickelt die Gleichung für Biwave Maps eine Singularität und welche Eigenschaften hat diese? Es ist zu erwarten, dass dieses Projekt interessante neue mathematische Strukturen über Wellengleichungen höherer Ordnung hervorbringen und dabei auch neue Einsichten über Wave Maps geben wird.