Netze von rationalen Kurven auf Flächen

Welche möglichen Formen haben Flächen, die als Lösungsmenge von Polynomgleichungen mit reellen Koeffizienten definiert sind? Es ist bekannt, dass eine nicht ebene Fläche, die zwei Geraden durch jeden Punkt enthält, entweder wie ein Kühlturm oder wie ein Pferdesattel geformt sein muss. Solche doppelten Regelflächen sind auf zwei verschiedene Arten durch Geraden erzeugt. Sie sind für Architekten interessant, da die Geraden als gerade Balken realisiert werden können, die ein Gebäude unterstützen. Anstelle von Geraden betrachten wir allgemeiner Mira-Kurven, also Kurven auf Flächen, die sich wie Geraden in der Ebene verhalten, aber wie verhedderte Schnürsenkel aussehen können ("Mira" steht für die Fachbegriffe "minimaler Grad" und "rational"). Nehmen wir nun an, dass S eine Fläche ist, die auf mindestens zwei verschiedene Arten von Mira- Kurven erzeugt werden kann. Im Gegensatz zu doppeltn Regelflächen hat diese Fläche typischerweise Selbstüberschneidungen, und daher ist es sehr schwierig, ihre möglichen Formen zu bestimmen. Selbst wenn die Mira-Kurven Kreise sind, handelt es sich hierbei um ein ungelöstes Problem und den Ausgangspunkt dieses Projekts. Unsere Annahme ist, dass es auf der Fläche S zwei Mira-Kurven A und B gibt, zusammen mit einer Äquivalenzrelation = und einer algebraischen Operation * so dass S=A*B. Aus einer solchen Zerlegung von S in die Kurven A und B gewinnen wir zusätzliche Erkenntnisse, zum Beispiel über ihre Selbstüberschneidungen. Damit eng verbunden ist das Problem, komplizierte Bewegungen von Robotern mit zwei Freiheitsgraden in Drehungen entlang von Achsen zu zerlegen. Eine andere Methode, die Geometrie der Fläche S zu enthüllen, besteht darin, sich ein Spinnennetz vorzustellen, das auf der Fläche liegt, sodass die Spinnfäden mit Mira-Kurven zusammenfallen. Solche Netze weisen eine tiefgreifende kombinatorische Struktur auf, und wenn die Mira-Kurven Geraden sind, kann diese Struktur auf griechische Mathematiker der Antike zurückverfolgt werden. Wir stellen uns eine Wiederbelebung von Ideen mit klassischen Wurzeln vor, indem wir moderne mathematische und computergestützte Methoden verwenden. Dieses Forschungsprojekt ist größtenteils von theoretischer Natur, hat aber potenzielle Anwendungen in Architektur, Kinematik, Computer-Vision und Physik.