Symbolische Summation für Informatik

Das Forschungsgebiet des Symbolischen Rechnens zielt darauf ab, große Bereiche der Mathematik zu algorithmisieren und in den Computer zu bringen. Was früher in der Mathematik nur mit Papier und Bleistift gelöst werde konnte, kann nun auf Knopfdruck mit dem Smartphone, einem Notebook oder für wirklich große Probleme mit Hochleistungsrechnern durchgeführt werden. Insbesondere können im Forschungsbereich der Symbolischen Summation inzwischen komplizierte Summen in vielen wissenschaftlichen Bereichen, wie der Mathematik (Abzählprobleme oder Zahlentheorie) oder der Elementarteilchenphysik, auf eindrucksvolle Weise vereinfacht werden, die bis vor Kurzem noch komplett außer Reichweite waren. Obwohl das Vereinfachen von Summen in der Informatik von Beginn an ein zentrales Hilfmittel war (siehe z.B. die Laufzeitanalyse von Algorithmen in der legendären Buchreihe The Art of Programming von Donald Knuth), finden die aktuellen Summations-Algorithmen in der theoretischen Informatik kaum ihre Anwendung. Dieses Projekt zielt darauf ab, die neuen Entwicklungen zur Vereinfachung von Summen mit dem theoretischen Bereich der Informatik zu verbinden und neue interdisziplinäre Interaktionen zu initiieren. Der treibende Motor ist hier eine konstruktive Differenzringtheorie, in der die zugrunde liegenden Folgen der Summationsobjekte formal in algebraischen Strukturen (sogenannten kommutativen Ringen und Körpern) und dem Verschiebe-Operator (Ringautomorphismus) dargestellt werden. Das zentrale Ziel des Projekts besteht insbesondere darin, die Klasse der Summationsobjekte im Rahmen solcher Differenzringen wesentlich zu erweitern und neuartige Algorithmen zu entwickeln, um Audrücke in diesen erweiterten Objekten zu vereinfachen und lineare Rekurrenzen zu lösen, wie sie in der Informatik häufig vorkommen. Unter Anderem werden neue Softwarepakete entwickelt, um z-B. (1) die Analyse von Algorithmen weiter zu automatisieren, d. h. die Laufzeit eines Algorithmus abhängig von der Eingabegröße vorherzusagen, (2) die Auswertung nichttrivialer Ausdrücke durch die Entdeckung von Redundanz zu beschleunigen oder (3) um automatisch zu beweisen, dass das Eingabe-Ausgabe-Verhalten eines Algorithmus korrekt ist. Umgekehrt werden Technologien aus der Informatik und Logik auf neuartige Weise integriert, um die bestehenden Summations-Algorithmen zu erweitern. Im Idealfall eröffnen sich dadurch nicht nur neue Anwendungsgebiete in der Informatik und Mathematik, sondern auch in anderen technischen und naturwissenschaftlichen Forschungsbereichen.