Lokalisation von Operatoren und deren Rekonstruktion

In der Quantenmechanik besagt das Heisenberg`sche Unschärfeprinzip, dass man nicht gleichzeitig den Ort und das Momentum eines Partikels messen kann. Mathematisch gesehen kann man diese Unschärferelation, dadurch ausdrücken, dass eine Funktion und deren Fouriertransformation nicht gleichzeitig kompakt getragen sein können, beziehungsweise nicht beliebig schnell gegen Null abfallen können. Über die Jahrzehnte wurden verschiedenste Varianten dieses Prinzips bewiesen. Hierbei spielen insbesondere die sogenannten Lokalisationsoperatoren eine wichtige Rolle, welche, obwohl bereits seit den 1960er Jahren untersucht, bis heute ein aktiver Forschungsgegenstand sind. Ein Lokalisationsoperator schränkt eine Funktion auf gewisse Teilgebiete im Zeit- und Frequenzraum ein. Diese Operatoren haben vielerlei Anwendungen gefunden, von der Abtasttheorie bis hin zur Statistik. Ein Ziel dieses Projekts ist es, solche Unschärferelationen für Operatoren anstatt für Funktionen zu untersuchen. Operatoren bezeichnen in der Mathematik linear Abbildungen zwischen zwei Räumen von Funktionen oder Vektoren. Diese Abbildungen kommen zum Beispiel in der mobilen Kommunikation zur Modellierung eines Kommunikationskanals zum Einsatz. Dass Operatoren auch Unschärfeprinzipien unterliegen, ist im ersten Moment nicht direkt klar. Eine Betrachtung mittels der Methoden der quantenharmonischen Analysis zeigt jedoch, dass dies tatsächlich der Fall ist. Dieses Feld versucht parallele Resultate der harmonischen Analysis für Funktionen auch für Operatoren zu beweisen. Wir werden Methoden der quantenharmonischen Analysis und die Theorie der Lokalisationsoperatoren verwenden, um eine systematische Studie der Lokalisierung von Operatoren durchzuführen. Das zweite Ziel dieses Projektes ist es zu untersuchen, wie man Charakteristika eines Operators nur Anhand einer (oder einiger weniger) Messung der Ausgabe eines Operators rekonstruieren kann. Operator Rekonstruktion kann zum Beispiel bedeuten, die aktuelle Kalibrierung eines Hörgeräts zu identifizieren, oder ein Objekt mittels Radar aufzuspüren. Klassische Rekonstruktionsmethoden setzen darauf, Signale oder Operatoren möglichst exakt wiederherzustellen. Dies ist jedoch oftmals nicht nötig, da bereits gewisse Teilparameter die essentielle Information über das Verhalten eines Operators beinhalten. Hier werden wir untersuchen, wann diese Teilinformation bereits zu zufriedenstellender Rekonstruktion führt. Ein besonderer Fokus wird darauf liegen, ob die Lokalisationseigenschaften eines Operators es ermöglichen, dessen Rekonstruktion zu vereinfachen. Dabei greifen wir unter anderem auf die Theorie der Operatoridentifikation zurück und verwenden randomisierte Methoden bei denen sogenanntes Gaußsches Rauschen als Eingabefunktion eines Operators dient. Solche statistischen Algorithmen spielen eine immer größere Rolle in der angewandten Mathematik, da sie, trotz der eingebauten Zufälligkeit, verlässliche Ergebnisse liefern und dabei einer einfachen Struktur folgen.