Ultradifferenzierbare Regularität von PDEs

Eine der wichtigsten Fragestellungen in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen ist es, unter welchen Bedingungen man schließen kann ob alle Lösungen einer bestimmten Differentialgleichung gute Eigenschaften haben, oder, mehr im mathematischen Jargon formuliert, ob alle Lösungen gleichermaßen regulär sind. Der Fokus dieses Projektes liegt auf der Untersuchung der Regularität von Lösungen von partiellen Differentialgleichungen, insbesonders der Hypoelliptizät von linearen Differentialoperatoren, im ultradifferentiellen Setting. Ultradifferenzierbare Klassen sind hierbei Familien von glatten Funktionen, die alle reell-analytische Funktionen enthalten und bestimmte Invarianzbedingungen erfüllen. Ein bekanntes Beispiel solcher Klassen sind die Gevrey Klassen, welche insbesonders in der Theorie von partiellen Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten eine wichtige Rolle spielen. Das Problem der ultradifferentiellen Hypoelliptizät lässt sich nun so formulieren: Ein Differentialoperator P ist ultradifferentiell hypoelliptisch bezüglich einer ultradifferenzierbaren Klasse falls eine Funktion u in der Klasse liegt wenn schon Pu ein Element dieser Klasse ist. Im glatten Fall geht die Frage der Hypoelliptizät zurück auf Laurent Schwarz. Das Hauptziel des Projektes ist es verschiedene Werkzeuge zur Untersuchung von Regularitätsprobleme vor allem aus der mikrolokalen Analysis, wie Pseudodifferentialoperatoren oder Fourierintegraloperatoren, für die es eine ausgereifte Theorie im glatten und im reell- analytischen Setting gibt, wie auch teilweise im Gevrey Fall, im ultradifferenzierbaren Setting systematisch zu entwickeln und auszubauen. Es ist weiters geplant diese Werkzeuge auf verschiedene Regularitätsprobleme von partiellen Differentialgleichungen und CR Geometrie anzuwenden und dabei zum verschiedene bekannte Resultate im glatten Fall, wie die berühmte Charakterisierung der glatten Hypoelliptizät von Principal Type Operatoren oder die Resultate von Lamel und Mir über die Regularität von CR Abbildungen (dies ist aus dem Blickwinkel der Theorie der partiellen Differentialgleichungen gleichbedeutend mit der Frage der Reguläritat von Lösungen von Systemen von linearen partiellen Gleichungen erster Ordnung mit nichtlinearen Nebenbedingungen), auf das ultradifferenzierbare Setting auszudehnen.