Kohärenter frames und vielparametrischer singulärer Integral

Eines der zentralen Werkzeuge der harmonischen Analyse ist die Darstellung einer beliebigen Funktion oder eines beliebigen Operators als Summe von grundlegenden Basisbausteinen, die gewisse Symmetrien besitzen. Eine Darstellung dieser Art wird oft als Darstellungsformel bezeichnet und erlaubt einem, beliebige Funktionen und Operatoren mittels der Eigenschaften jener Basisbausteine zu untersuchen. Die Fouriertransformation, zum Beispiel, bietet eine systematische Art und Weise, Funktionen in Exponentialfunktionen zu zerlegen und auf diese Weise Darstellungsformeln für fundamentale Operatoren wie den Laplace-Operator zur Verfügung zu stellen. Die Symmetrie der Basisbausteine einer Darstellungsformel hängt in der Regel wesentlich vom Definitionsbereich der untersuchten Funktionenklasse beziehungsweise von Invarianzeigenschaften der untersuchten Operatorenklasse ab. Das Hauptziel dieses Projekts ist die Untersuchung zahlreicher grundlegender Fragestellungen zu Darstellungsformeln für Funktionen und Operatoren, die eine Symmetrie bezüglich Dilatationen besitzen, das heißt, bezüglich solcher Transformationen, die die Größe eines Objektes, jedoch nicht seine Form verändern. Für klassische skalare Dilatationen sind derartige Darstellungsformeln für unterschiedlichste Klassen von Funktionenräumen und singulären Integraloperatoren in der Wavelet- beziehungsweise Caldern-Zygmund- Theorie untersucht worden. In zahlreichen Anwendungsgebieten kommen allerdings komplexere Dilatationsstrukturen zum Vorschein, zum Beispiel Multiparameterdilatationen. Obwohl in den letzten Jahren den Darstellungsformeln bezüglich solcher Multiparameterdilatationen im Einzelnen oft sehr viel Aufmerksamkeit geschenkt wurde, sind die Zusammenhänge zwischen den Fragestellungen im Großen und Ganzen unbeachtet geblieben. Ein Hauptaugenmerk des vorgestellten Projekts liegt daher auf der Entwicklung einer systematischen Theorie zu Darstellungsformeln, die Multiparamaterdilalationssymmetrien berücksichtigt und zur Untersuchung von singulären Multiparameterintegraloperatoren erfolgreich eingesetzt werden kann. Der hier vorgestellte Ansatz zum Erreichen der Projektziele basiert auf einer Kombination von grundlegenden Werkzeugen und Techniken aus der harmonischen Analyse sowie der Darstellungstheorie der relevanten Gruppen. Die erwarteten Resultate werden nach Einschätzung des Antragstellers einen bleibenden Einfluss auf die Beziehung zwischen der euklidischen harmonischen Analyse und der Darstellungstheorie von Gruppen ausüben und sie stärken.