Regularisierungsmethoden in Banachräume

Eine grosse Anzahl physikalischer und technischer Herausforderungen kann durch inverse Probleme modelliert werden, die derzeit Gegenstand eines schnell wachsenden Wissenschaftsfeldes sind. Die meisten inversen Probleme können als Operatorgleichungen geschrieben werden, die im Allgemeinen schlecht gestellt sind, d.h., kleine Störungen in den Daten bewirken grosse Oszillationen in den Lösungen. Aus diesem Grund ist eine Form der Regularisierung erforderlich, wobei das ursprüngliche schlecht gestellte Problem durch eine Familie benachbarter wohlgestellter Probleme ersetzt wird, die eine stabile Approximation der tatsächlichen Lösung liefern. Die heute betrachteten komplexen Aufgaben in Biologie, Medizin, Chemie und Data Mining benötigen mathematische Modelle mit unendlichdimensionalen Banachräumen, die nicht Hilbertsch, reflexiv oder separabel sind (z.B. Lebesgue-Räume, der Raum der Funktionen mit beschränkter Variation, Besov-Räume). Deshalb ist eine breit angelegte Konvergenztheorie erforderlich, die auch diese Situationen abdeckt. Diese Theorie kann zum Teil durch Erweiterungen klassischer Regularisierungsmethoden entwickelt werden, was anhaltende Forschungsbemühungen erfordert. Mit diesem Projekt wollen wir zu den Grundlagen einer allgemeinen Regularisierungstheorie beitragen, indem verschiedene nicht-quadratische Stabilisierungsmethoden zur Lösung schlecht gestellter Probleme in Banachräumen vorgeschlagen und analysiert werden. Insbesondere werden verallgemeinerte Landweber-Methoden sowie Regularisierungsmethoden basierend auf nicht-quadratischen Data-Fitting-Termen und Surrogat-Funktionalen betrachtet. Besondere Aufmerksamkeit gilt dem Expectation-Maximization-(EM)-Algorithmus für die Positronen Emissions Tomographie (PET), für den Konvergenzresultate im unendlichendimensionalen Fall noch fehlen. Die vorgeschlagenen Methoden werden auf praktische Situationen anwendbar sein, wie etwa das Schärfen/Entrauschen von Bilddaten, die Wiederherstellung von Sparse-Funktionen sowie PET. Die Analysis umfasst qualitative Aspekte (Stabilität, Konvergenz) und quantitative Aspekte (Konvergenzraten, numerische Experimente). Die Proximal- Point-Methode der Optimierung spielt eine Schlüsselrolle zum Erreichen dieser Ziele.

Inverse Probleme (IP) ist ein sehr dynamischer Forschungsbereich mit direkter Anwendung in Problemen realer Systeme, die auf indirekten Beobachtungen und Messungen basieren. Das mathematische Modell besteht in eine Operatorgleichung, um die Unbekannte, basierend bewirken. Folglich sind die in einer direkten Weise berechneten Lösungen nicht fehlerfrei. Die Forschung auf dem Gebiet von IP versucht, solche Gleichungen zu stabilisieren, um das schlecht gestellte Problem durch eine Familie von gut gestellten Problemen zu ersetzen. Im Zentrum dieses Forschungsprojektes stehen solche Regularisierungsverfahren: Die Ergebnisse decken einige der ursprünglich anvisierten Ziele und folgen weitgehend den strategischen Richtungen des Projektantrages. Die theoretischen Ergebnisse wurden aus Sicht der Anwendung erlangt und beinhalten folgende Themen: DieVorgehensweise der Lösung von InversenProblemen durch Optimierungstechniken war der Schwerpunkt in diesem Forschungsprojekt. Dies führte zu profunden Ergebnissen für ein bekanntes IP-Verfahren und zu aufschlussreichen neuen Methoden für Bildverarbeitungsproblemen. Das Schärfen der Bilder, die mit verschiedenen Rauschtypen gestört waren (Gauss-, Laplace- und Poissonverteilung), wurde beispielsweise innerhalb eines gemeinsamen Kontexts, basierend auf einer rigorosen Analyse und relevanten numerischen Experimenten, behandelt. Die Konvergenzgeschwindigkeit für einige Verfahren konnte auch mittels der Optimierungsinstrumente etabliert werden. Eine Vielfalt von sich aus Physik (z.B. das Fluoreszenzproblem) und Computertomographie ergebendenInversen Problemenfordernpositive Funktionen/Vektoren als Lösungen. Wir schlugen zwei Verfahren vor, die die Approximierung solcher Lösungen garantieren. Das Betrachten eines mathematischen Problems in einem unendlich dimensionalen Kontext kann beim Finden einer Lösung helfen; allerdings fordern die praktischen Anwendungen üblicherweise eine Diskretisierung (ein endlich dimensionales Vorgehen). Solche Aspekte wurden ebenfalls betrachtet und im Detail in einigen Fällen untersucht. Die Approximierung von dünnbesetzten Lösungen (d.h., solchen, die nur wenige nicht-Null Kompenenten haben, wie in Signalverarbeitung oder in Gennetzwerken) wird durch kontextspezifische Regularisierungsverfahren befördert. Ein Teil dieser Arbeit untersucht Eigenschaften von Lösungen und ihre praktische Bedeutung, die eine bestimmte Konvergenzgeschwindigkeit für bestimmte Regularisierungsverfahren garantieren. Weiters schlagen wir ein neues Regularisierungsverfahren für die Rekonstruktion von dünnbesetzten Lösungen vor, das eine intuitive Begründung hat. Die stabile Bildverarbeitung wurde zudem heuristisch betrachtet. Fachleute wenden solche Verfahrensweisen in ihrer praktischen Arbeit an, da sie gute numerische Ergebnisse, trotz einer fehlenden passenden Theorie, erzielen können. Die ausgeführten numerischen Experimente weisen auf eine entsprechende Vorgehensweise hin, um theoretische Ergebnisse zu erzielen.