Eine neue Geometrie für die Relativitätstheorie

Die zentrale Botschaft der Allgemeinen Relativitätstheorie Einsteins lautet: Schwerkraft ist die Krümmung des Universums, genauer der Raum-Zeit. Die mathematische Sprache, in der wir normalerweise über diese Krümmung sprechen, ist die Lorentz`sche Differentialgeometrie. Sie ist die eigenwillige Schwester der uns vertrauten Euklidischen (oder Riemannschen) Geometrie: Umwege (gemessen in Raum-Zeit-Distanz) sind kürzer statt, wie (im Riemannschen Kontext) üblich, länger. Ein wesentlicher Nachteil der Differentialgeometrie (der Riemannschen, wie der Lorentz`schen) ist, dass ihre zentralen Objekte glatt sein müssen: Man kann nur über die Krümmung schöner Flächen sprechen, die weder Ecken, Kanten noch Spitzen besitzen. Die Physik verwendet jedoch oft nicht- glatte Modelle und liefert so eine starke Motivation für eine nicht-glatte Geometrie. Glücklicherweise wurde in den letzten Jahrzehnten ein sehr robuster Krümmungsbegriff für nicht- glatte Riemann-Geometrien entwickelt. Er beruht auf den mathematischen Theorien der Metrischen Geometrie und des Optimalen Transports und hat die Riemannsche Geometrie revolutioniert. In diesem sogenannten synthetischen Zugang ist das zentrale Objekt die Abstandsfunktion, und die Krümmung wird in den Konvexitätseigenschaften eines Entropie-Funktionals kodiert. Im Jahr 2018 formulierte unsere Forschungsgruppe die Grundlagen einer synthetischen Lorentz- Geometrie mit der Raum-Zeit-Distanz als zentralem Objekt. Wir haben damit eine Brücke zwischen dem robusten Krümmungsbegriff der Metrischen Geometrie bzw. des Optimalen Transports und der Lorentz-Geometrie geschlagen. Unsere Vision ist es, diese Brücke zu überqueren und eine neue Geometrie zu entwickeln, um damit einige grundlegende offene Probleme der Physik zu bearbeiten: die Natur von Raum-Zeit-Singularitäten in der Allgemeinen Relativitätstheorie und darüber hinaus die Suche nach einer vereinheitlichenden Sprache für diskrete Zugänge zur Quantengravitation.