Mengentheoretische Kombinatorik in Banach- und Maßräumen

Mit ihren umfangreichen Anwendungen in verschiedenen Bereichen wie Physik, Ingenieurwissenschaft, Biologie oder Medizin, stellt Analysis eines der Hauptgebiete der modernen Mathematik dar. Sie wird von vielen Mathematikern intensiv untersucht, dennoch passiert es oft, dass einige Hypothesen der Analysis allein mit Hilfe von analytischen Werkzeugen nicht bewiesen oder widerlegt werden können. Das Problem liegt in den vorausgesetzten Axiomen das heißt, Sätzen, die ohne Beweis als richtig genommen werden und auf die jedes Theorem der Mathematik zurückgeführt wird welche den Mengenbegriff verwenden. Mengen werden als minimalste Objekte in der Mathematik verstanden: alle anderen Objekte wie Zahlen, Funktionen oder Räume sind aus Mengen aufgebaut. Trotz des minimalen Charakters der Mengen, kann sogar eine kleinste Änderung in den Axiomen einen großen Einfluss auf die ganze Mathematik haben. Dies wird zum Beispiel dadurch verursacht, dass einige mathematische Objekte anfangen oder aufhören werden zu existieren, einige Relationen zwischen Objekten anfangen oder aufhören werden zu gelten oder manche Objekte anfangen oder aufhören werden bestimmte Eigenschaften zu haben. Das Gebiet der Mathematik, welches die Eigenschaften der Axiome und ihren Einfluss auf den Rest der Mathematik untersucht, heißt Mengenlehre. In diesem Projekt interessieren wir uns für den Einfluss der Mengenlehre auf die Existenz und Struktur analytischer Räume mit verschiedenen Eigenschaften. Insbesondere fragen wir von einem mengentheoretischen Standpunkt aus nach der Struktur der Räume mit verschiedenen Eigenschaften betreffend zum Beispiel die Konvergenz unendlicher Folgen von ihren Elementen, der Räume, in denen man Sondermessungen durchführen kann, oder der Räume, die andere Räume enthalten. Die Methode vonForcing wird unser Hauptuntersuchungswerkzeug sein.Dies ist eine mengentheoretische Technik, die es einem ermöglicht, neue mathematische Welten (oder Universen) zu erschaffen, in denen verschiedene Objekte oder Räume existieren. Wir werden auch so genannte Kardinalinvarianten des Kontinuums verwenden diese sind mathematische Objekte, die komplizierte Mengen sind, wie zum Beispiel verschiedene Familien unendlicher Folgen natürlicher Zahlen oder Familien spezieller unendlicher Teilmengen der Menge der reellen Zahlen. Diese Techniken wurden bereits intensiv untersucht und sie sind gut verstanden. Einer der zentralen innovativen Aspekte dieses Projekts ist ihre Verwendung in der Untersuchung der oben genannten Probleme Banachräumen betreffend. Diese Verwendung wird dazu beitragen die kombinatorische Struktur verschiedener Banachräume besser zu verstehen und uns damit die Möglichkeit eröffnen zu beweisen, dass bestimmte offene Fragen über Banachräume unabhängig sind, das heißt aus den angenommen Axiomen weder bewiesen noch widerlegt werden können.

Mit ihren vielfältigen Anwendungen in Wissenschaftsbereichen wie Physik, Ingenieurwesen, Biologie und Medizin zählt die Analysis zu den wichtigsten Forschungsgebieten der modernen Mathematik. In diesem Projekt untersuchten wir verschiedene Eigenschaften sogenannter Banachräume, die zu den zentralen Objekten und Werkzeugen der Analysis gehören. Diese Räume können als natürliche unendlichdimensionale Verallgemeinerung typischer endlichdimensionaler euklidischer Räume wie der zweidimensionalen Ebene oder des dreidimensionalen Raums betrachtet werden. Im Laufe des Projekts erhielten wir eine Reihe von Ergebnissen, die die Struktur, Geometrie, Dimension und kombinatorischen Eigenschaften dieser Räume sowie ihre möglichen Transformationen und Deformationen durch verschiedene stetige Operationen beschreiben, z. B. solche, die die Abstände zwischen Punkten oder die additive Vektorstruktur der Räume erhalten. Um diese Ergebnisse zu erzielen, haben wir neben der Anwendung von Standardmethoden, die für die Analysis und die Banachraumtheorie charakteristisch sind, auch häufig auf Werkzeuge zurückgegriffen, die ihren Ursprung in Bereichen der Mathematik wie Logik und Topologie haben - ein solcher Ansatz erlaubte es uns, die Räume auch aus einer fundamentaleren oder logischen Perspektive zu untersuchen und dabei oft verborgene Eigenschaften der Räume aufzudecken, die stark von dem angenommenen System mathematischer Axiome abhingen.