Raum-Zeit-Methoden für Schrödingergleichungen

Die zeitabhängige Schrödingergleichung spielt eine große Rolle in vielen physikalischen Bereichen. Sie ist die zentrale Gleichung der Quantenmechanik. Daher ist die Lösung dieser Gleichung von größter Bedeutung. Leider ist die exakte Lösung im Allgemeinen nicht zugänglich. Mittels numerischer Verfahren ist aber eine Näherung zu dieser Lösung berechenbar. Etablierte Verfahren basieren darauf, die numerischen Verfahren in einen örtlichen und einen zeitlichen Teil zu trennen bzw. Raum und Zeit unterschiedlich zu behandeln. Dies führt zu numerischen Methoden, bei denen die Näherung zu einem bestimmten Zeitpunkt nur von vergangenen Zeitpunkten abhängt. Das heißt, diese Verfahren sind sequentiell im zeitlichen Teil. Um die Kapazität von modernen Supercomputern auszunutzen, sind Methoden notwendig, die den zeitlichen Teil parallel berechnen können. Zeitparallelisierung ist bei den etablierten Methoden, welche sequentiell im zeitlichen Teil sind, schwer realisierbar. Anders ist die Situation bei sogenannten Raum-Zeit-Methoden, welche Raum und Zeit gleichermaßen behandeln. Bei diesen wird die Zeit wie ein zusätzlicher räumlicher Anteil interpretiert. In diesem Projekt werden Raum-Zeit-Methoden zur näherungsweisen Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung entwickelt. Zuerst wird die eindeutige Lösbarkeit der zeitabhängigen Schrödingergleichung untersucht. Das Ziel ist, eine neue Charakterisierung der Lösungen der zeitabhängigen Schrödingergleichung herzuleiten. Darauf aufbauend liegt der Fokus, verschiedene Varianten von Raum-Zeit-Methoden zu entwickeln. Das Projekt wird sich auf Näherungen mittels Polynome in Raum und Zeit spezialisieren. Eine rigorose Analyse dieser Methoden ist von zentraler Bedeutung und wird in diesem Projekt angestrebt. Insbesondere ist sicherzustellen, dass die numerischen Methoden eindeutig lösbar sind. Weiters wird der Fehler, welcher durch die näherungsweise Lösung entsteht, untersucht. Außerdem wird die Zeitparallelisierung dieser Verfahren betrachtet. Die entwickelten Raum-Zeit-Methoden werden implementiert und ausgiebig getestet.