Tensornetzwerke und topologische Phasenübergänge

Die Quantenmechanik ist eines der sich am schnellsten entwickelnden Gebiete der modernen Physik, sowohl betreffend das theoretische Verständnis von quantenmechanischen Phänomenen als auch deren experimentelle Realisierung. Obwohl ihre Grundlagen im frühen 20. Jahrhundert gelegt wurden, hat die technologische Quantenrevolution erst im 21. Jahrhundert, insbesondere in den letzten Jahren, Fahrt aufgenommen. Dies kulminierte im Physik-Nobelpreis 2022 "für Experimente mit verschränkten Photonen, den Nachweis der Verletzung von Bellungleichungen und Pionierleistungen in der Quanteninformationswissenschaft" unter anderen an den österreichischen Physiker Prof. Anton Zeilinger. Eine der wichtigsten derzeitigen Herausforderungen ist die Konstruktion leistungsfähiger Quantencomputer, die Probleme jenseits von Supercomputern lösen können. Eines der vielversprechendesten Konzepte ist der topologische Quantencomputer. Hier werden Quanten-Logikgatter implementiert, indem exotische Teilchen sogenannte Anyonen umeinander herum bewegt werden. Anders als die elementaren Bauteile von Materie Bosonen (z.B. Lichtteilchen) und Fermionen (z.B. Elektronen) entstehen Anyonen als kollektive Anregungen von stark korrelierten Quantensystemen, sogenannten topologisch geordneten Systemen. Bemerkenswerterweise ist es im Jahr 2021 gelungen, topologisch geordnete Systeme in Quantensimulatoren experimentell zu realisieren. Dazu werden Atome einzeln in Fallen gefangen und ihre Wechselwirkungen präzise eingestellt, um die gewünschte Physik zu simulieren. Eines dieser Experimente macht von sogenannten Rydberg-Atomen Gebrauch, deren Eigenschaften sie zu einer idealen Plattform für Quantensimulatoren machen. Ziel des Projekts ist es, wesentliche Schritte hin zu einer Simulation dieser exotischen Materiephasen und Quantensysteme zu machen. Dazu werden wir einen Satz an Methoden entwickeln, die die theoretische Untersuchung der dynamischen Präparation von topologisch geordneten Systemen in realistischen Experimenten ermöglichen. Dynamische Präparation bedeutet, dass das Experiment mit einem einfach zu kontrollierenden Zustand des Systems beginnt, der keine (bzw. sehr geringe) Quantenkorrelationen besitzt. Anschließend werden die Wechselwirkungen zwischen den Atomen langsam angeschaltet, so dass das System sich an die langsam wechselnden Parameter anpasst. Falls die Präparation zu schnell stattfindet, entstehen im System Defekte, die die Qualität des finalen Zustands negativ beeinflussen. Ein wesentlich Beitrag des Projekts wird es sein, numerische Methoden zu entwickeln, die es erlauben, die Präparationszeit zu optimieren und die topologischen Eigenschaften des finalen Zustands zu untersuchen. Die Ergebnisse des Projekts werden uns somit erlauben, das optimale Gleichgewicht zwischen einer kurzen Präparationszeit und einer geringen Anzahl an Defekten zu finden und somit die bestmöglichen topologischen Zustände in Experimenten zu realisieren.

Das Projekt hat sein Hauptziel erreicht: die Entwicklung neuer rechnergestützter Methoden zur Untersuchung und Optimierung topologisch geordneter Quantensysteme sowie deren Anwendung auf Modelle mit direkter Relevanz für Quantencomputing und Experimente. Ein zentrales Ergebnis war die Weiterentwicklung von Optimierungstechniken für zweidimensionale Tensor-Netzwerke (PEPS). Dabei handelt es sich um mathematische Strukturen, die Quantenzustände und ihre Verschränkungsmuster effizient beschreiben. Durch den Einsatz automatischer Differentiation (AD), einer in moderner KI und im maschinellen Lernen weitverbreiteten Methode, konnten wir wesentliche Einschränkungen überwinden, die diese Ansätze bisher schwer zugänglich machten. Insbesondere haben wir korrigierte Formeln für zentrale Matrixoperationen hergeleitet, was zu zuverlässigeren Berechnungen führte. Darüber hinaus haben wir eine effizientere Strukturierung des zugrunde liegenden Codes unter Verwendung impliziter Differentiation eingeführt. Anstatt aufwendig sicherzustellen, dass jeder einzelne Rechenschritt differenzierbar ist, trennen wir die Optimierung selbst von einem kompakten Gleichungssystem, das ihr Ergebnis beschreibt, und differenzieren nur dieses. Das führt zu Code, der einfacher zu implementieren, schneller und numerisch stabiler ist und deutlich bessere Approximationen von Quantengrundzuständen liefert. Diese Fortschritte sind nicht nur für die Grundzustandsoptimierung relevant, sondern auch für die Simulation von Zeitentwicklungen und Anregungen sowie für breitere Anwendungen im maschinellen Lernen. Wir haben diese Methoden auf zwei physikalisch relevante Modelle angewendet. Das erste ist der Toric Code (ein paradigmatisches Modell des topologischen Quantencomputings) unter dem Einfluss zweier paralleler Magnetfelder. Wir haben untersucht, wie das System seine topologische Phase verlässt, wenn exotische Teilchen - seine elementaren Anregungen, sogenannte Anyonen - in den Grundzustand kondensieren, und gezeigt, wie sich die mathematische Darstellung des Zustands (die PEPS-Repräsentation) je nach Art der Anyonenkondensation, die den Phasenübergang antreibt, natürlich anpasst. Diese Ergebnisse werden derzeit zur Veröffentlichung vorbereitet. Das zweite Modell beschreibt Rydberg-Atome auf einem Ruby-Gitter. Es ist direkt relevant für Experimente, die bereits 2021 in Harvard durchgeführt wurden, und weist dieselbe topologische Ordnung wie das Toric-Code-Modell auf. Wir haben das Phasendiagramm dieses Systems untersucht und die Parameterbereiche identifiziert, in denen das System einen Phasenübergang von einer trivialen Phase zu einer topologisch geordneten Phase und anschließend zu einer weiteren geordneten Phase durchläuft. Die Analyse dieses zweiten Übergangs ist noch im Gange; die Ergebnisse müssen vor einer Veröffentlichung noch abschließend ausgearbeitet werden. Insgesamt stellen diese Resultate einen wichtigen Schritt zum Verständnis und zur Optimierung topologischer Zustände in realistischen Quantensimulatoren dar, wie im ursprünglichen Projektantrag vorgesehen.