Theorie und Anwendungen adaptierter Wassersteindistanz

Stochastische Prozesse werden verwendet, um die Entwicklung bestimmter sich zeitlich ändernder Zustände in der Welt zu beschreiben, die nicht mit absoluter Sicherheit vorhergesagt werden können. Prominente Beispiele sind Aktienkurse, die häufig durch stochastische Prozesse beschrieben werden, die sich aus dem Black-Scholes-Modell ergeben. Natürlich müssen die tatsächlichen Aktienkurse nicht diesem einfachen Modell folgen, und selbst wenn sie es tun, kann es sein, dass die für das Modell verwendeten Parameter nicht mit perfekter Genauigkeit kalibriert sind. Folglich kann es vorkommen, dass die aus dem Modell abgeleiteten Vorhersagen nicht perfekt mit der Realität übereinstimmen; so können beispielsweise die tatsächlichen Marktschwankungen höher sein als die vorhergesagten. Daher ist es wichtig zu verstehen, wie sich Änderungen im Modell auf die daraus gezogenen Schlussfolgerungen auswirken. Um dieses Problem angemessen angehen zu können, muss man einen Begriff für den Abstand zwischen stochastischen Prozessen festlegen, d. h. eine Quantifizierung, wie nah oder weit zwei verschiedene Prozesse beieinander liegen. In bestimmten einfachen Fällen ist dies eine leichte Aufgabe: Das Black-Scholes-Modell beispielsweise hängt nur von zwei Parametern ab (dem Drift und den Schwankungen), und zwei verschiedene Modelle können anhand der Unterschiede zwischen ihren Parametern verglichen werden. Im Allgemeinen sind stochastische Prozesse jedoch komplizierte Objekte, und das Finden des richtigen Abstandsbegriffs ist subtiler. Diese Subtilität tritt bereits in dem viel einfacheren Setting von Zufallsobjekten auf, die sich nicht in der Zeit entwickeln. Stütztend auf den Entwicklungen in der Theorie des optimalen Transports in den letzten Jahrzehnten, ist in diesem Setting eine zufriedenstellende Antwort möglich. Für Zufallsobjekte, die sich zeitlich entwickeln (d.h. stochastische Prozesse), ist diese Theory aber leider nicht geeignet. Andererseits wurden in den letzten Jahren mehrere Varianten des optimalen Transports untersucht, die sich für die Analyse des Abstands zwischen stochastischen Prozessen eignen, und sie haben sich in mehreren Anwendungen als nützlich erwiesen, insbesondere in der Finanzmathematik. Gleichzeitig fehlt es noch an einem tieferen allgemeinen Verständnis und viele grundlegende Fragen sind noch offen. In diesem Projekt planen wir, die Theorie des optimalen Transports für stochastische Prozesse weiterzuentwickeln und sie systematisch auf pressierende Fragen innerhalb der Finanzmathematik anzuwenden.

Dieses Projekt konzentrierte sich auf die Entwicklung fortgeschrittener mathematischer Werkzeuge, um Unsicherheit in komplexen, zeitabhängigen Systemen besser zu verstehen und zu kontrollieren - mit einem besonderen Fokus auf Anwendungen in der Finanzmathematik. Im Zentrum stand die Untersuchung der adaptierten Wasserstein-Distanz, einer neuartigen Erweiterung des optimalen Transports. Letzterer ist eine mathematische Theorie, die auf Gaspard Monge im Jahr 1781 zurückgeht und in den 1940er-Jahren von Leonid Kantorovich formalisiert wurde. Die Theorie befasst sich mit der Frage, wie sich Ressourcen möglichst effizient von einem Ort zu einem anderen transportieren lassen, wobei die Transportkosten minimiert werden. In den letzten Jahren hat der optimale Transport eine bemerkenswerte Entwicklung erlebt und findet zunehmend Anwendung in zahlreichen Bereichen, darunter Ökonomie und Datenwissenschaft. Klassische Methoden des optimalen Transports vergleichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen, ohne die zeitliche Struktur der Informationsverfügbarkeit zu berücksichtigen. Die in diesem Projekt untersuchte adaptierte Wasserstein-Distanz hingegen bezieht den Zeitpunkt und die Reihenfolge ein, in der Informationen verfügbar werden, und eignet sich daher besonders gut zur Analyse dynamischer Modelle, wie sie etwa in Finanzmärkten auftreten. Durch die Berücksichtigung dieser zeitlichen Dimension konnte ein robustes Rahmenwerk zur Entwicklung stabiler Modelle geschaffen werden, das Risiken in Situationen, in denen klassische Methoden versagen, präziser modellieren und bewerten kann. Diese theoretischen Fortschritte wurden in mehreren Publikationen in unterschiedlichen Kontexten systematisch bestätigt. Insbesondere konnten qualitative Schranken für die Fehler abgeschätzt werden, die durch die Wahl eines falschen probabilistischen Modells für das zugrundeliegende Finanzsystem entstehen. Bemerkenswert ist, dass diese auf der allgemeinen Theorie basierenden Fehlerschranken in vielen Fällen scharf sind und mit solchen übereinstimmen, die zuvor mit hochspezifischen, modellabhängigen Methoden erzielt wurden. Ein weiteres wesentliches Ergebnis des Projekts ist die Erkenntnis, dass es sich bei der adaptierte Wasserstein-Distanz um eine geodetische Distanz handelt. Diese Einsicht eröffnet neue Perspektiven für eine auf Differentialgeometrie basierende Theorie des adaptierten optimalen Transports. Im Rahmen des Projekts wurden insgesamt 15 wissenschaftliche Arbeiten verfasst, von denen 8 in führenden, international renommierten Fachzeitschriften der reinen und angewandten Mathematik veröffentlicht wurden - darunter Advances in Mathematics, Annals of Applied Probability, Journal of the European Mathematical Society, Mathematics of Operations Research und SIAM Journal on Financial Mathematics. Darüber hinaus wurden die Ergebnisse des Projekts im Rahmen von 18 eingeladenen Vorträgen auf Konferenzen, Seminaren und Workshops vorgestellt.