Analysis von PDEs mit Kreuzdiffusion und stochastischen Termen

Inhalt: Partielle Differentialgleichungen mit Kreuzdiffusionstermen werden in der Mathematischen Biologie häufig verwendet und stellen eine Herausforderung für die mathematische Analysis dar. Entropiemethoden sind ein effizientes technisches Werkzeug für den Beweis der Existenz zeitlich globaler Lösungen solcher Gleichungen. Aus dem Blickwinkel der Mathematischen Biologie sind Kreuzdiffusionsgleichungen gemittelte Modelle; die Modellierung stochastischer Effekte ist wegen unsicherer externer Daten allerdings sehr wünschenswert. Dies führt natürlicherweise auf stochastische partielle Differentialgleichungen (SPDE). Für solche Gleichungen existiert im Wesentlichen keine mathematische Analysis, und eines der Hauptziele dieses Projektes ist es, diese fundamentale Wissenslücke zu füllen. Methoden: Dafür schlagen wir die folgende Vorgehensweise vor. Für den Beweis zeitlich lokaler Lösungen werden wir verschiedene Lösungskonzepte verwenden. Für zeitlich globale Lösungen sollen Entropiemethoden für partielle Differentialgleichungen auf SPDEs erweitert werden. Ein Hauptthema ist die Verwendung von Entropievariablen und globale A-priori- Abschätzungen. Das Neuartige an diesem Projekt ist die erstmalige Verknüpfung und Erweiterung von Theorien aus verschiedenen mathematischen Gebieten aus dem Bereich von Kreuzdiffusionsgleichungen.

Das Hauptergebnis des Projektes betrifft die Untersuchung manchen wichtigen mathematischenEigenschaften dersogenannten"StochastischenPartiellen Differentialgleichungen" (SPDG). Diese Objekte sind eine Verallgemeinung der Partielle Differentialgleichungen (PDG), die sehr oft in der angewandten Wissenschaften benützt sind, um zahlreiche physikalische Phenomene quantitativ zu beschreiben. Wo PDG deterministische Objekte sind (d.h. wenn ein Input gegeben wird, kriegt man, wenn die Gleichung gelöst wird, ein eindeutiges Ergebnis), die SPDG enthalten zufällige Effekte, die oft nötig sind, um die physikalysche Phenomene besser zu beschreiben. Aber die Lösung der Gleichungen muss in einem geeigneten mathematischen Sinn existieren, um die Gleichungen die Realität richtig beschreiben kann. Das war ein Ziel des Projektes, d.h. es zu zeigen, dass eine bestimmte, ziemlich allgemeine und sehr komplizierte Klasse von SPDG geeignete Lösungen hat. Dieses Ziel wurde so erreicht, indem man zürst die Existenz einer klug definierten Art von Lösungen ("mild") gezeigt wurde, die nicht alle von der Physik benötigten Eigenschaften haben dürfen, dann zu beweisen, dass diese "milde" Lösungen alle oben genannten Eigenschaften besitzen und deswegen richtige Lösungen des Systems sind. Zürst haben wir bewiesen, dass solche Lösungen zumindest für einen kurzen Zeitraum existieren, dann haben wir gezeigt, dass sie für alle Zeiten existieren. Nachdem wir das Problem der Existenz der Lösungen betrachtet haben, haben wir unseren Hauptaugenmerk auf die F rage der Dynamik gerichtet, d.h. was machen die Lösungen, wenn wir die Zeit fliessen lassen. Wie haben die Existenz besonderer Lösungen ("Attractors") bewiesen, die jede andere Lösung des Systems anziehen. Das Ergebnis ist für Anwendungen wichtig, denn es sagt uns, dass die Lösungen nach einer genugenden langen Zeit (fast) alle besondere Eigenschaften ihrer Anfagszustände vergessen; man kann eben eine Abschätzung der Zeit kriegen, die das System braucht, um in der nähe der Attractor anzukommen. Innerhalb de r weiten Familien der SPDG haben wir die betrachtet, die die sogenannte Kreuzediffusion zeigen, eine besonders starke Kopplung zwischen der Gleichungen, die oft angewendet wird, um die komplexe Vehaltung der Mischungen zu beschreiben, und die die Analyse d er Gleichungen viel anspruchsvollere macht. Die mathematischen Eigenschaften, die entscheidenden in unserer Analyse waren, sind aus der "Entropiestruktur" der Gleichungen gefolgt. Tatsächlich, die Gleichungen, die wir betrachtet haben, wiederspiegelt die Physik: sie besitzen eine Struktur, die in Verbindung mit der zweiten Gesetz der Thermodynamik steht, die bedeutet, dass die "Unordnung" des System (von der Entropiefunktion vermesset) mit der Zeit immer zuzunimmt. Diese Struktur ist das Skelett des Systems, die uns ermöglicht hat, die von der Kreuzediffusion verursachte Schwierigkeit zu überwinden.