Funktionale Fehlerschätzer für PDEs in Außengebieten

Viele Probleme in Wissenschaft und Technik werden mathematisch in Form von so genannten partiellen Differentialgleichungen (engl. PDEs) formuliert. Bei der numerischen Lösung von PDEs wird die Konvergenz der Verfahren durch Singularitäten der gegebenen Daten und/oder der unbekannten Lösung beeinträchtigt. Darüber hinaus erfordern PDEs auf unbeschränkten Gebieten oft Randelemente-Methoden (engl. BEMs) mit vollbesetzten Matrizen. Mit dem ultimativen Ziel, eine diskrete Lösung mit vorgeschriebener Genauigkeit bei quasi- minimalen Rechenkosten zu berechnen, muss das numerische Verfahren den Diskretisierungsfehler, den Konsistenzfehler (der aus der effizienten Approximation der auftretenden BEM-Matrizen resultiert) und den Lösungsfehler eines iterativen und daher inexakten Lösers kontrollieren und austarieren. In einer neueren Arbeit der beiden Projektleiter werden sogenannte funktionale a- posteriori-Fehlerschätzer für die BEM-Diskretisierung des Laplace-Problems vorgeschlagen, die anstelle des Fehlers der durch BEM approximierten Integraldichte den Fehler der PDE-Lösung kontrollieren. Der Vorteil dieses Ansatzes ist, dass er sich auf physikalische Größen konzentriert und auch Kollokationsverfahren abdeckt. Die Ziele des Projekts lassen sich insgesamt grob wie folgt zusammenfassen: (1) Während die erwähnte eigene Arbeit die Galerkin-BEM für das Laplace-Problem auf beschränkten Gebieten behandelt, sind numerische Experimente (und Algorithmen) nur für 2D entwickelt worden. Unser Ziel ist es, eine 3D- Implementierung zu entwickeln, zu testen und zu validieren. (2) Wir erweitern die mathematische Analysis von funktionalen Fehlerschätzern auf Laplace-Probleme auf unbeschränkten Außenräumen und auf Laplace- Transmissionsprobleme mit (möglicherweise) stark monotoner Nichtlinearität, die durch FEM-BEM-Kopplungen diskretisiert werden. (3) Wir behandeln stationäre 3D-Maxwell-Gleichungen. Letztere sind mathematisch anspruchsvoll, da der Operator-Kern unendlich-dimensional ist und deshalb mit anspruchsvollen operatortheoretischen Methoden behandelt werden muss und numerisch zu multiplen Sattelpunktformulierungen führt. (4) Wir entwickeln adaptive Strategien, die die Komprimierung der beteiligten BEM- Matrizen und die adaptive Terminierung des iterativen Lösers beinhalten. Außerdem streben wir rigorose mathematische Konvergenzergebnisse an zumindest für die theoretisch attraktive Galerkin-BEM. Die Innovation des Projekts lässt sich wie folgt zusammenfassen: Wir werden das mathematisch-rigorose Verständnis für das optimale Zusammenspiel von adaptiver Netzverfeinerung, iterativen Solvern und BEM-Matrixkompression schaffen. Obwohl dies in der Praxis von großer Bedeutung ist, ist es mathematisch kaum analysiert (jenseits von asymptotischen Ergebnissen für uniforme und damit suboptimale Diskretisierungen). Für die Maxwell-Gleichungen wird das Projekt wichtige Beiträge zur a-posteriori-Fehlerabschätzung für physikalisch relevante Größen auf unbeschränkten Gebieten liefern. Alle theoretischen Erkenntnisse werden in MATLAB (in 2D) und NGSolve/BEM++ (in 3D) implementiert. Die Codes werden der akademischen Öffentlichkeit zur Verfügung gestellt, um die praktische Relevanz der entwickelten mathematischen Konzepte und Ergebnisse zu unterstreichen.