Versuchspläne für räumliche Zufallsfelder

DESIRE beschäftigt sich mit dem Problem effiziente Versuchspläne (Messnetze) für die Beobachtung räumlicher Zufallsfelder in einem statistischen Sinn zu definieren. Obschon das Projekt industrielle und wissenschaftliche Anwendungen einschließt, so ist es doch der Grundlagenforschung zuzurechnen, mit dem Ziel geeignete Modellklassen für spezifische Ausprägungen des räumlichen Beobachtens zu identifizieren und insbesondere Algorithmen zum Errechnen effizienter Pläne vorzuschlagen. Um die Relevanz der erzielten Resultate zu demonstrieren, sollen - in Kooperation mit externen kollaborierenden Institutionen - die entwickelten Techniken mit State-of-the-art Verfahren in einer kleinen Zahl realer Anwendungen verglichen werden. Plant man ein Messnetz zur Beobachtung räumlicher Phänomene, so ist es üblich, so genannte raumfüllende Pläne zu verwenden, also solche, welche die Inputs (Messstellen) möglichst gleichmäßig in der zur Verfügung stehenden Region zu verteilen. Insbesondere bei sogenannten Computersimulationsexperimenten, wo physische (teure) Experimente durch (zeitaufwändige, aber billigere) numerische Simulationen ersetzt werden, ist dies gängige Praxis. In industriellen Kontext nennt man diese Vorgehensweise "Virtual Prototyping". Ein ähnlicher Vorgang der Datengewinnung wird derzeit bei einem Großteil der existierenden Sensornetzwerke verwendet. Gleichzeitig werden jedoch oft die durch die Schätzung der stochastischen Charakteristiken des Zufallsfeld auftretenden Unsicherheiten typischerweise ignoriert. Das Projekt zielt darauf ab (1) diese mit der Präzision der Vorhersagen oder Interpolationen verbundenen Unsicherheiten bei der Definition der Planungsziele aufzunehmen, (2) einfache Kriterien, welche durch spezifische Algorithmen effizient optimiert werden können, zu entwickeln, (3) Versuchspläne sequentiell zu erstellen und dabei auf dynamische Rahmenbedingungen zu achten, um letztendlich auch bewegliche Sensoren zu ermöglichen. Der letzte Punkt stellt das ultimative Ziel des Projekts dar und entspricht einem stochastischen Kontrollproblem und kann als Bindeglied zwischen Kontrolltheorie und statistischer Inferenz verstanden werden. Als Modellklasse werden wir additive Überlagerungen einer deterministischen Komponente und Realisierungen eines räumlich korrelierten stochastischen Prozesses betrachten. Verglichen mit klassischen parametrischen Verfahren hat dies den Vorteil der erhöhten Flexibilität und geringeren Empfindlichkeit gegenüber der gewählten parametrischen Modellklasse. Vorhersagen an unbeobachteten Stellen werden dann explizit durch das Kriging- Verfahren (Krige, 1951) gewonnen, eine Standardmethode der räumlichen Statistik, welche durch die Pionierarbeiten von Sacks et al. (1989) sich auch bei Computersimulationsexperimenten mittlerweile durchgesetzt hat. Trotz der Tatsache, dass dieses Vorhersageverfahren mittlerweile gut entwickelt ist, möchten wir Verbesserungen in mehreren Richtungen erreichen: (1) eine präzisere Beschreibung der durch die Schätzung räumlicher Parameter aus dem gleichen Datenmaterial entstehenden Unsicherheiten, (2) die Erweiterung dieser korrigierten "Vorhersage der Unsicherheiten auf die Vorhersagen" für lokalisierte Ziele, wie die Konstruktion eines Inputmenge für ein spezifisches Beobachtungsziel oder das Auffinden von extremen Beobachtungen (im Gegensatz zu den globalen Zielen, wie möglichst präziser Interpolation im gesamten Inputraum), (3) das Erforschen alternativer Modellklassen für erweiterte Abhängigkeitsstrukturen, so genannte Copulas.

Effiziente Beobachtung von räumlichen (Zufalls-)feldern hat zahlreiche Anwendungen in verschiedenen Gebieten. Zwei wichtige aber völlig unterschiedliche sind erstens die Optimierung industrieller Prozesse, wo es um die Beschaffenheit von Kennfeldern in Bezug auf Einflussfaktoren geht und zweitens die Bestimmung und Vorhersage umweltwissenschaftlicher, z.B meteorologischer Phänomene wie Fronten, lokaler Maxima, etc. In beiden Fällen sind die Versuchsregionen ausgedehnt und die mit der Datenerhebung verbundenen Kosten enorm. Die Entwicklung adaptiver experimenteller Strategien, welche Informationen sofort bei Bekanntwerden einbeziehen und Redundanzen durch flexible Ausnützung der Versuchsregionen vermeidet, ist deshalb von besonderer Bedeutung. Dies bedingt auch die Anwendung von Kriterien zur Messung präziser Feldrekonstruktionen und die Optimierung dieser Kriterien in Bezug auf die Designfaktoren. Es ist üblich diese Rekonstruktionen durch so genannte Kriging Vorhersagen durchzuführen und deren Genauigkeit über den mittleren quadratischen Vorhersagefehler (MSPE) zu definieren. (i) die Berücksichtigung von Unsicherheiten über Parameter der Kovarianzfunktion bedingt eine Korrektur der üblichen Berechnungsmethoden des MSPE und daran angepasste, neue Strategien zur Optimierung der Versuchspläne (im Sinn der bekannten Kiefer-Wolfowitz Äquivalenztheorie). (ii) Wegen des hohen computationalen Aufwands kann der MSPE nur selten benutzt werden. Durch Ausnützen einer speziellen Zerlegung kann ein Großteil der Berechnungen offline durchgeführt und Versuchspläne zu wesentlich geringeren Kosten erstellt werden. Eine alternative Methode der Spektralentwicklung erlaubt zusätzlich die Ausnützung Methoden der konvexen Optimierung.