Kombinatorik & Definierbarkeitsarten ganzer Funktionen

Das Projekt führt die mathematischen Diziplinen der Mengenlehre und der Funktionentheorie zusammen. Im 19. Jahrhundert entwickelte Georg Cantor die Mengenlehre. Eine seiner wichtigsten Erkenntnisse war, dass nicht alle unendlich großen Mengen gleich groß sind. Die kleinste Unendlichkeit ist die der natürlichen Zahlen, Mengen dieser Größe heißen abzählbar, alle anderen unendlichen Mengen heißen überabzählbar. Diese Beobachtung führte zur Formulierung der als Kontinuumhypothese bekannt gewordenen Aussage, dass jede überabzählbare Menge reeller Zahlen so groß wie die Menge aller reeller Zahlen ist. Im 20. Jahrhundert zeigten Kurt Gödel und Paul Cohen, dass die Kontinuumhypothese mit den normalen Axiomen der Mengenlehre weder bewiesen noch widerlegt werden kann. Besonders in der Mengenlehre reeller Zahlen wurden in den letzten Jahrzehnten Verbindungen zu anderen Bereichen der Mathematik hergestellt. Die Kontinuumhypothese lässt sich zwar nicht mit den normalen Axiomen der Mengenlehre beweisen, manchmal ist dies aber für schwächere Aussagen möglich. Verschiedene Eigenschaften von Mengen reeller Zahlen wurden studiert und oftmals lässt sich zeigen, dass aus der Existenz einer Menge reeller Zahlen mit einer Eigenschaft X die Existenz einer genauso großen oder kleineren Menge reeller Zahlen mit einer Eigenschaft Y folgt. Die Geschichte der Funktionentheorie reicht ebenso ins 19. Jahrhundert zurück und wurde von mehreren Mathematikern, u.a. Cauchy, Riemann und Weierstraß entwickelt. Ihre Objekte, die holomorphen Funktionen, lassen sich auf mehrere äquivalente Arten definieren, als differenzierbare Funktionen über den komplexen Zahlen, als durch Potenzreihen gegebene Funktionen oder als winkeltreue Abbildungen zwischen zweidimensionalen Räumen. Es gibt genauso viele holomorphe Funktionen wie reelle Zahlen. Paul Erdos zeigte 1964, dass die Kontinuumhypothese äquivalent zur Aussage, dass es eine überabzählbare Menge M von holomorphen Funktionen, für die für jede komplexe Zahl z die Menge der Werte, die Funktionen aus M an der Stelle z annehmen, abzählbar ist, gibt. In den letzten Jahren erfuhr die Mengenlehre holomorpher Funktionen verstärkt Aufmerksamkeit, u.a. durch Arbeiten von Burke, Kumar und Shelah. Im Rahmen des Projekts soll die Mengenlehre holomorpher Funktionen fortentwickelt und um die Perspektive der deskriptiven Mengenlehre erweitert werden. Die deskriptive Mengenlehre untersucht unter welchen Bedingungen Objekte, wie beispielsweise eine bestimmte Familie holomorpher Funktionen, deren Existenz sich mittels der Axiome der Mengenlehre abstrakt beweisen lässt, sich auch definieren lassen.