Verallgemeinerte Baireräume, Strukturen und Kombinatorik

Das vorliegende Projekt handelt vom Studium der Komplexität von Theorien. Eine Theorie kann zur Beantwortung von Fragen in anderen Theorien verwendet werden, dies führt zu einem Begriff von Komplexität. Je allgemeiner eine Theorie ist, desto komplexer ist sie auch. Eine Frage in einer Theorie kann in eine andere Theorie übersetzt und dort beantwortet werden. Können alle Fragen in einer Theorie A zu Fragen in einer Theorie B übersetzt werden, so ist B mindestens so kompliziert wie A. In verallgemeinerter Deskriptiver Mengenlehre lässt sich dieser Komplezitätsbegriff unter Verwendung von Funktionen als Übersetzungsen studieren. Da die Fragen einer Theorie durch ihre Modelle beantwortet werden, sind die in der verallgemeinerten Deskriptiven Mengenlehre verwendeten Funktionen jene, die Modelle einer Theorie in Modelle einer anderen abbilden. Ein anderer Komplexitätsbegriff ist modelltheoretischje mehr Modelle eine Theorie hat, desto komplexer ist sie. Das zentrale Problem dieses Komplexitätsbegriffs tritt zutage, wenn zwei Theorien mit der gleichen Anzahl von Modellen verglichen werden, in diesem Fall kann der in Frage stehende Komplexitätsbegriff wenig über die Komplexität der Theorien aussagen. Bezüglich des modelltheoretischen Komplexitätsbegriffs werden Theorien in verschiedene Gruppen eingeteilt. Klassifizierbare Theorien, instabile Theorien, etc., wobei die klassifizierbaren die Theorien geringster Komplexität sind. Die Vermutung wäre bewiesen, wenn man zeigte, wie sich Funktionen von den Modellen einer klassifizierbaren Theorie zu den Modellen einer nicht klassifizierbaren Theorie konstruieren lassen. Verallgemeinerte Deskriptive Mengenlehre ist ein junges Forschungsgebiet. Erst 2014 wurde es als solches wirklich durch die Veröffentlichung der Monographie Generalized Descriptive Set Theory and Classification Theory durch Friedman, Hyttinen und Kulikov, in der sie fundamentale Probleme des Gebiets, durch die richtige Wahl von Definitionen, die die Verallgemeinerung klassischer Deskriptiver Mengenlehre gestatteten, lösen, etabliert. Neben der Weiterentwicklung der Verallgemeinerten Deskriptiven Mengenlehre wird dieses Projekt eine tiefe Verbindung zwischen Modelltheorie und Verallgemeinerter Deskriptiver Mengenlehre aufzeigen, es wird eine neue Perspektive auf die Frage, wie sich der Begriff der klassifizierbaren Theorie verallgemeinern lässt, geben.

Die Vermutung von Friedman-Hyttinen-Kulikov wurde als wahr bewiesen. Während dieses Projekts wurde das Verhältnis zwischen der verallgemeinerten beschreibenden Mengenlehre und der Modelltheorie untersucht. Die Komplexität verschiedener mathematischer Theorien wurde aus der Sicht der beschreibenden Mengenlehre (Borel-Reduzierbarkeit) und Shelahs Klassifikationstheorie untersucht. Zwei verschiedene Methoden zur Klassifizierung vollständiger abzählbarer erster Ordnungstheorien, die in den 1980er Jahren entwickelt wurden, die erste aus der Mengenlehre und die letztere aus der Modelltheorie. Es wurde gezeigt, dass die Borel-Reduzierbarkeitskomplexität eine Verfeinerung der Klassifikationstheoriekomplexität ist. Im Laufe dieses Projekts wurde die Theorie der verallgemeinerten beschreibenden Mengenlehre weiterentwickelt, und es wurden neue Begriffe und Objekte in beiden Bereichen (Mengenlehre und Modelltheorie) gefunden. Im Allgemeinen können wir die Komplexität beliebiger zwei Theorien aus der Sicht der Mengenlehre vergleichen, und das widerspricht nicht der Komplexität aus der Modelltheorie. Ein spezielles Beispiel sind die Vektorräume im Vergleich zur Ordnung der reellen Zahlen (der reellen Zahlengerade). Gemäß beiden Methoden ist die reelle Zahlengerade komplexer als die Vektorräume.