Geometrische Strukturen auf Lie Gruppen

Das Studium geometrischer Strukturen auf Mannigfaltigkeiten, die lokal modelliert sind auf homogenen Räumen, geht auf das Erlanger Programm von Felix Klein zurück. Viele bekannte Geometrien sind von diesem Typ, z.B. klassische Raumformen, affine-flache und projektiv-flache Strukturen, flache konforme Strukturen, sphärische CR- Strukturen und viele andere. Eine wichtige ungelöste Frage hierbei ist, ein Kriterium für die Existenz solcher Strukturen zu finden. Im allgemeinen sind Fragen dieser Art sehr tiefliegend. Durch die Arbeiten von Klein, und später von Cartan, kann man diese Strukturen mit Mitteln der Algebra studieren. Ein gutes Beispiel sind affine Strukturen auf Mannigfaltigkeiten, beziehungsweise linksinvariante affine Strukturen auf Lie Gruppen. Viele Resultate über Euklidische Strukturen können auf diesen Fall verallgemeinert werden, zumindest vermutungsweise. Das wurde Anfang der siebziger Jahre von Milnor und Auslander intensiv untersucht, im Zusammenhang mit affinen kristallographischen Gruppen und Fundamentalgruppen kompakter, vollständiger affiner Mannigfaltigkeiten. Seitdem sind viele neue Resultate erzielt worden, unter anderem auch mittels treuer Darstellungen von auflösbaren Lie Algebren. Viele Fragen sind jedoch weiterhin offen. In diesem Projekt möchten wir unsere Arbeit über geometrische Strukturen auf Lie Gruppen fortsetzen, und zudem damit verwandte Fragestellungen über kristallographische Aktionen, einfach transitive affine Aktionen von Lie Gruppen, und deren Verallgemeinerungen untersuchen. Unsere Methoden werden dabei größtenteils algebraischer Natur sein, wie etwa Kohomologie- und Darstellungstheorie, Deformations- und Degenerationstheorie, oder das Studium gewisser Lie-zulässiger Algebra-Strukturen. Einige dieser Algebra-Strukturen haben auch eine Anwendung in der Quantenmechanik.

Geometrische Strukturen auf Mannigfaltigkeiten sind ein zentrales Thema der Mathematik, weil sie mit vielen verschiedenen mathematischen Gebieten verflochten sind, die sich mit aktuellen Themen beschäftigen. Das hauptsächliche Ziel dieses Projekts war die Untersuchung von geometrischen Strukturen auf Lie Gruppen, und zwar insbesondere von linksinvarianten affinen Strukturen und ihren Verallgemeinerungen Das Studium solcher geometrischer Strukturen hat eine lange Tradition. Schon Felix Klein hat in seinem Erlanger Programm von 1872 Euklidische, hyperbolische und sphärische Geometrie mit Hilfe von Transformationsgruppen studiert, die die Eigenschaften des zugrundeliegenden Raumes invariant lassen. Wir haben neue Kriterien für die Existenz von geometrischen Strukturen auf gegebenen Lie Gruppen gefunden. Diese Kriterien sind im Wesentlichen algebraischer Natur (im Sinne von E. Cartan und W. M. Thurston). Wir konnten affine Aktionen auf Lie Gruppen und dadurch beschriebene allgemeinere geometrische Strukturen mit Hilfe von Post-Lie Algebra Strukturen behandeln. Neben der Existenz frage haben wir die Vollständigkeit der Strukturen studiert. Wir haben neue Abschätzungen über den kleinsten Grad möglicher treuer Darstellungen einer gegebenen Lie Algebra erzielt. Diese Zahl ist endlich nach dem Theorem von Ado, die sogenannte -Invariante. Sie spielt eine wichtige Rolle, insbesondere für die Existenz geometrischer Strukturen auf Lie Gruppen, ist aber sehr schwer zu bestimmen. Weiterhin haben wir in diesem Zusammenhang neue Ergebnisse über periodische Derivationen und Prederivationen, Leibniz-Derivationen und Graduierungen von Lie Algebren erzielt. Wir haben Novikov Algebren in niedrigen Dimensionen klassifiziert und darauf aufbauend neue Ko varianten gefunden, und eine vollständige Klassifikation aller Orbitabschlüsse in der Varietät der 3-dimensionalen komplexen Novikov Algebren erzielt. Thomas Benes hat in diesem Gebiet seine Dissertation, über die Degenerationstheorie von Lie und pre-Lie Algebren, erfolgreich abgeschlossen. Zuletzt haben wir neue Ergebnisse über die Existenz linksinvarianter affiner Strukturen auf reduktiven Lie Gruppen erzielt. Zu diesem Thema schreibt Felix Behringer zurzeit an einer Dissertation.