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Stoerung von Polynomen, Verallgemeinerungen und Anwendungen

Perturbations of Polynomials, Generalizations, and Applications

Armin Rainer (ORCID: 0000-0003-3825-3313)
  • Grant-DOI 10.55776/P22218
  • Förderprogramm Einzelprojekte
  • Status beendet
  • Projektbeginn 01.03.2010
  • Projektende 28.02.2014
  • Bewilligungssumme 210.798 €
  • E-Mail

Wissenschaftsdisziplinen

Mathematik (100%)

Keywords

    Perturbation of Polynomials, Perturbation of Linear Operators, Convenient Calculus, Quasianalytic Denjoy-Carleman Classes, Lifting over Invariants, Normalizations and Pseudo-Immersions

Abstract Endbericht

In den spaeten dreissiger Jahren entwickelte F. Rellich die 1-Parameter analytische Stoerungstheorie linearer Operatoren, welche ihren Hoehepunkt mit der viel beachteten Monographie von T. Kato erreichte. Rellich bewies, dass die Wurzeln einer reell analytische Kurve von monischen univariaten hyperbolischen (alle Wurzeln reell) Polynomen eine reell analytische Parametrisierung erlauben. Dies verwendend zeigte er, dass die Eigenwerte und die Eigenvektoren einer reell analytischen Kurve von symmetrischen Matrizen (oder sogar von unbeschraenkten selbstadjungierten Operatoren in einem Hilbertraum mit gemeinsamem Definitionsbereich und kompakter Resolvente) reell analytisch gewaehlt werden koennen. Glatte Stoerungen von Polynomen wurden seither intensiv studiert, vorwiegend 1-Parameter Stoerungen hyperbolischer Polynome. In der letzten Dekade erschienen mehrere neue Beitraege zu diesem Gebiet. Einige davon basieren auf einem kuerzlich erlangtem, tieferem Verstaendnis von Aufloesung von Singularitaeten, das neue Wege fuer das Studium der Stoerung von Polynomen in mehreren Parametern eroeffnet. In diesem Forschungsprojekt wird das Studium von Stoerungen von Polynomen fortgesetzt werden - mit Hauptaugenmerk auf den glatten komplexen (nicht notwendig hyperbolischen) Fall mit mehreren Parametern. Aufloesung von Singularitaeten quasianalytischer Funktionsklassen wird eine wesentliche Rolle spielen. Die Resultate werden Anwendungen in der Stoerungstheorie unbeschraenkter normaler Operatoren haben. Dies erfordert einen Differentialkalkuel fuer quasianalytische Funktionenklassen jenseits von Banachraeumen. Damit ist die Entwicklung des Convenient Setting fuer quasianalytische Denjoy-Carleman differenzierbare Abbildungen ein weiteres Hauptziel dieses Forschungsprojektes. Einen zweiten Schwerpunkt wird die folgende natuerliche Verallgemeinerung des Stoerungsproblems fuer Polynome darstellen: Man betrachte eine rationale komplexe endlichdimensionale Darstellung einer reduktiven linearen algebraischen Gruppe. Die Algebra der invarianten Polynome ist endlich erzeugt, und ihre Einbettung in die Algebra aller Polynome auf dem Darstellungsraum induziert eine Projektion auf den kategorischen Quotienten. Diese Projektion kann mit der Abbildung identifiziert werden, die sich aus einem System von Erzeugern zusammensetzt. Gegeben eine glatte Abbildung in den kategorischen Quotienten, aufgefasst als Teilmenge des affinen komplexen Raumes, stellt sich die Frage, ob ein glatter Lift in den Darstellungsraum existiert. Das Problem des Liftens von Abbildungen ueber Invarianten gliedert sich in das umfassendere Projekt des Studiums der analytischen und geometrischen Eigenschaften von Orbitraeumen ein. Ein nahe verwandtes Liftungsproblem ist die Frage, in welchem Ausmass Normalisierungen Pseudo-Immersionen sind, d.h. die universelle Eigenschaft von glatten Immersionen haben. Ein weiteres Ziel dieses Forschungsprojektes ist das Finden einer natuerlichen glatten Liftungsbedingung fuer Normalisierungen. Neben der Stoerungstheorie linearer Operatoren und den Studium der Struktur von Orbitraeumen, sind Anwendungen fuer das Cauchy-Problem in der Theorie der Partiellen Differentialgleichungen zu erwarten.

Die Frage nach der Regularität der Wurzeln eines parameterabhängigen Polynoms ist von grundlegender Bedeutung mit wichtigen Anwendungen in verschiedenen mathematische Disziplinen wie den partiellen Differentialgleichungen, der Störungstheorie linearer Operatoren oder der Singularitätentheorie. Die Fragestellung ist so elementar, dass sie schon mit der Erfindung der Differentialrechnung vor 300 Jahren hätte erfolgen können. Als offenes Hauptproblem in diesem Gebiet galt die Vermutung von Spagnolo aus dem Jahre 2000, dass sich die Wurzeln einer glatten Kurve von Polynomen durch absolut stetige Funktionen parametrisieren lassen. Wir bewiesen diese Vermutung. Als direkte Anwendung folgte lokale Lösbarkeit gewisser Systeme von partiellen Differentialgleichungen. Das Problem der regulären Wahl der Wurzeln ist in natürlicher Weise verwandt mit der Störungstheorie linearer Operatoren, welche in der Physik (z.B. der Quantenmechanik) und den Ingenieurwissenschaften allgegenwärtig ist. In Gegenwart gewisser struktureller Regularität, wie Selbstadjungiertheit oder Normalität, die für gewöhnlich in Anwendungen erfüllt sind, gelten jedoch für lineare Operatoren wesentlich stärkere Störungsresultate als für Polynome. Ein Projektziel war die unendlich dimensionale Verallgemeinerung unserer zuvor für endlich dimensionale Matrizen erzielten Resultate zur glatten Störung der Spektralzerlegung. Im Zuge der Umsetzung dieses Zieles machten wir die erstaunliche Entdeckung, dass die Störungstheorie normaler Operatoren sich gleich gut verhält wie jene selbstadjungierter Operatoren, obwohl Normalität eine schwächere Bedingung ist. Die Umsetzung der Störungstheorie im Unendlichdimensionalen erforderte einen Differentialkalül für (namentlich quasianalytische) Abbildungsklassen zwischen allgemeinen unendlich dimensionalen linearen Räumen. Ein möglicher Zugang ist das sogenannte Convenient Setting", das sich besonders gut für viele Fragestellungen der Globalen Analysis eignet. Wir entwickelten das Convenient Setting für Denjoy-Carleman Klassen; das sind Funktionenklassenmit vielseitigen Anwendungen (z.B.in denpartiellen Differentialgleichungen), welche durch Wachstumsbedingungen an die iterierten Ableitungen gegeben sind. Wenn die Funktionen der Klasse durch die Folge aller Ableitungen in jedem einzelnen Punkt eindeutig bestimmt sind, dann heißt die Klasse quasianalytisch. Quasianalytische und nicht quasianalytische Klassen verhalten sich qualitativ sehr unterschiedlich. Dennoch konnten wir einen uniformen Beweis des Convenient Setting für alle Denjoy-Carleman Klassen erbringen, egal ob quasianalytisch oder nicht. Wir fanden Anwendungen für Abbildungsmannigfaltigkeiten und Diffeomorphismengruppen. Die Frage nach der Regularität der Wurzeln von Polynomen ist ein Spezialfall eines allgemeinen abstrakten Liftungsproblems. Permutiert man nämlich die Wurzeln eines Polynoms, so ändert sich das Polynom nicht. Daher ist der Raum der Polynome eines festen Grades identisch mit dem Raum der Orbits bezüglich der Wirkung der Permutationsgruppe auf dem Raum der Wurzeln. In diesem Bild ist ein parameterabhängiges Polynom eine Abbildung in den Orbitraum und eine Wahl der Wurzeln ist ein Hochheben" (oder Liftung) der Abbildung über die Orbitprojektion. Wir untersuchten dieses Problem für abstrakte Gruppenwirkungen und verallgemeinerten teilweise unsere Ergebnisse für Polynome.

Forschungsstätte(n)
  • Universität Wien - 100%
Internationale Projektbeteiligte
  • Krzysztof Kurdyka, Universite de Savoie - Frankreich
  • Edward Bierstone, University of Toronto - Kanada
  • Mark Losik, Saratov State University - Russland

Research Output

  • 218 Zitationen
  • 24 Publikationen
Publikationen
  • 2012
    Titel Composition in ultradifferentiable classes
    DOI 10.48550/arxiv.1210.5102
    Typ Preprint
    Autor Rainer A
  • 2012
    Titel Lifting Quasianalytic Mappings over Invariants
    DOI 10.4153/cjm-2011-049-0
    Typ Journal Article
    Autor Rainer A
    Journal Canadian Journal of Mathematics
    Seiten 409-428
    Link Publikation
  • 2012
    Titel Differentiable roots, eigenvalues, and eigenvectors
    DOI 10.48550/arxiv.1211.4124
    Typ Preprint
    Autor Rainer A
  • 2012
    Titel Addendum to: 'Lifting smooth curves over invariants for representations of compact Lie groups, III'.
    Typ Journal Article
    Autor Kriegl A
  • 2010
    Titel Lifting quasianalytic mappings over invariants
    DOI 10.48550/arxiv.1007.0836
    Typ Preprint
    Autor Rainer A
  • 2011
    Titel The convenient setting for quasianalytic Denjoy-Carleman differentiable mappings.
    Typ Journal Article
    Autor Kriegl A
  • 2011
    Titel A generalization of Puiseux’s theorem and lifting curves over invariants
    DOI 10.1007/s13163-011-0062-y
    Typ Journal Article
    Autor Losik M
    Journal Revista Matemática Complutense
    Seiten 139-155
  • 2011
    Titel Perturbation theory for normal operators
    DOI 10.48550/arxiv.1111.4475
    Typ Preprint
    Autor Rainer A
  • 2011
    Titel Many parameter Hölder perturbation of unbounded operators
    DOI 10.1007/s00208-011-0693-9
    Typ Journal Article
    Autor Kriegl A
    Journal Mathematische Annalen
    Seiten 519-522
  • 2015
    Titel A new proof of Bronshtein’s theorem
    DOI 10.1142/s0219891615500198
    Typ Journal Article
    Autor Parusinski A
    Journal Journal of Hyperbolic Differential Equations
    Seiten 671-688
    Link Publikation
  • 2016
    Titel Regularity of roots of polynomials
    DOI 10.2422/2036-2145.201404_014
    Typ Journal Article
    Autor Parusinski A
    Journal ANNALI SCUOLA NORMALE SUPERIORE - CLASSE DI SCIENZE
    Seiten 481-517
    Link Publikation
  • 2014
    Titel Differentiable roots, eigenvalues, and eigenvectors
    DOI 10.1007/s11856-014-0007-5
    Typ Journal Article
    Autor Rainer A
    Journal Israel Journal of Mathematics
    Seiten 99-122
  • 2014
    Titel An exotic zoo of diffeomorphism groups on $\mathbb R^n$
    DOI 10.48550/arxiv.1404.7033
    Typ Preprint
    Autor Kriegl A
  • 2014
    Titel Composition in ultradifferentiable classes
    DOI 10.4064/sm224-2-1
    Typ Journal Article
    Autor Rainer A
    Journal Studia Mathematica
    Seiten 97-131
    Link Publikation
  • 2014
    Titel An exotic zoo of diffeomorphism groups on Rn
    DOI 10.1007/s10455-014-9442-0
    Typ Journal Article
    Autor Kriegl A
    Journal Annals of Global Analysis and Geometry
    Seiten 179-222
    Link Publikation
  • 2015
    Titel The convenient setting for Denjoy–Carleman differentiable mappings of Beurling and Roumieu type
    DOI 10.1007/s13163-014-0167-1
    Typ Journal Article
    Autor Kriegl A
    Journal Revista Matemática Complutense
    Seiten 549-597
  • 2013
    Titel A new proof of Bronshtein's theorem
    DOI 10.48550/arxiv.1309.2150
    Typ Preprint
    Autor Parusinski A
  • 2013
    Titel Regularity of roots of polynomials
    DOI 10.48550/arxiv.1309.2151
    Typ Preprint
    Autor Parusinski A
  • 2013
    Titel Perturbation theory for normal operators
    DOI 10.1090/s0002-9947-2013-05854-0
    Typ Journal Article
    Autor Rainer A
    Journal Transactions of the American Mathematical Society
    Seiten 5545-5577
    Link Publikation
  • 2009
    Titel The convenient setting for non-quasianalytic Denjoy–Carleman differentiable mappings
    DOI 10.1016/j.jfa.2009.03.003
    Typ Journal Article
    Autor Kriegl A
    Journal Journal of Functional Analysis
    Seiten 3510-3544
    Link Publikation
  • 2011
    Titel Addendum to: "Lifting smooth curves over invariants for representations of compact Lie groups, III" [J. Lie Theory 16 (2006), No. 3, 579-600.]
    DOI 10.48550/arxiv.1106.6041
    Typ Preprint
    Autor Kriegl A
  • 2011
    Titel Denjoy–Carleman Differentiable Perturbation of Polynomials and Unbounded Operators
    DOI 10.1007/s00020-011-1900-5
    Typ Journal Article
    Autor Kriegl A
    Journal Integral Equations and Operator Theory
    Seiten 407
  • 2011
    Titel The Convenient Setting for Denjoy--Carleman Differentiable Mappings of Beurling and Roumieu Type
    DOI 10.48550/arxiv.1111.1819
    Typ Preprint
    Autor Kriegl A
  • 2011
    Titel The convenient setting for quasianalytic Denjoy–Carleman differentiable mappings
    DOI 10.1016/j.jfa.2011.05.019
    Typ Journal Article
    Autor Kriegl A
    Journal Journal of Functional Analysis
    Seiten 1799-1834
    Link Publikation

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