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Differentielle Analysis: Störung und Quasianalytizität

Differential Analysis: Perturbation and Quasianalyticity

Armin Rainer (ORCID: 0000-0003-3825-3313)
  • Grant-DOI 10.55776/P26735
  • Förderprogramm Einzelprojekte
  • Status beendet
  • Projektbeginn 01.04.2014
  • Projektende 31.03.2019
  • Bewilligungssumme 322.466 €
  • Projekt-Website
  • E-Mail

Wissenschaftsdisziplinen

Mathematik (100%)

Keywords

    Regularity Of Roots And Eigenvalues, Ultradifferentiable Mappings, Quasianalyticity, Calculus In Infinite Dimensions, Lifting Over Invariants, Analysis On Singular Spaces

Abstract Endbericht

Störung ist ein fundamentales Konzept der Mathematik sowie der Natur-wissenschaften und der angewandten Wissenschaften, basierend auf der Idee, ein System zu studieren, das geringfügig von einem idealen System abweicht, für welches die Lösung bekannt ist. Die Störungstheorie linearer Operatoren etwa, begründet durch Rayleigh und Schrödinger in den 1920ern im Studium der Akustik und der Quantenmechanik, untersucht das Verhalten der Spektraleigenschaften bei kleiner Änderung des Operators. Ein zentrales Problem dieser Theorie ist die Regularität der Wurzeln einer parametrisierten Familie von Polynomen (d.h. Störung von Polynomen). Störung von Polynomen spielt wegen ihrer Fundamentalität in so unterschiedlichen Gebieten wie den partiellen Differenzialgleichungen (PDG) oder der algebraischen Geometrie eine bedeutende Rolle. Holmgrens Arbeit zur Hitzegleichung zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts zeigte, dass die Lösungen gewisser PDG in sogenannten ultradifferenzierbaren Funktionenräumen liegen, die durch Abschätzungen an die iterierten Ableitungen definiert sind. Die ultradifferenzierbare Funktionen bilden Klassen zwischen den reell analytischen und den glatten Funktionen, die zwischen den beiden Extremen interpolieren und daher eine wichtige Rolle in der Regularitätstheorie der PDG spielen. Ultradifferenzierbare Klassen sind entweder quasianalytisch, wenn jedes Element eindeutig durch seine unendliche Taylor-Entwicklung in jedem Punkt bestimmt ist, oder nicht- quasianalytisch. Das Konzept der Quasianalytizität, entdeckt am Ende des neunzehnten Jahrhunderts von Émile Borel, verallgemeinert die Eindeutigkeitseigenschaften analytischer Funktion und tritt in natürlicher Weise in der Harmonischen Analyse und der Theorie der PDG auf. In der letzten Dekade wurde Quasianalytizität zunehmend wichtig in der sogenannten zahmen reellen Geometrie, zum Teil weil Auflösung von Singularitäten in quasianalytischen Klassen verfügbar ist (und zum anderen Quasianalytizität erfordert). Andere Standardtechniken der lokalen analytischen Geometrie fehlen jedoch, was die quasianalytische Analysis technisch anspruchsvoll macht. Hauptziel dieses Projektes ist, die optimale Regularität der Wurzeln von Polynomen zu bestimmen und ultradifferenzierbare Funktionen in endlichen und unendlichen Dimensionen zu untersuchen, mit besonderem Augenmerk auf Quasianalytizität, sowie einige der klassischen offenen Probleme zu lösen. Diese Vorhaben sind verbunden durch ihre gemeinsamen Anwendungen in der Störungstheorie und den PDG. Das Regularitätsproblem für Wurzeln von Polynomen ist ein Spezialfall eines allgemeinen Liftungs-Problems für Darstellungen von reduktiven algebraischen Gruppen oder kompakten Lie-Gruppen. Es stellt somit einen Aspekt der breiteren Zielsetzung dar, analytische und geometrische Eigenschaften von Orbiträumen zu studieren.

In vielen mathematischen Problemen unterschiedlichster Natur begegnet man der Frage, wie regulär die Wurzeln eines Polynoms mit regulären Koeffizienten gewählt werden können. In diesem Projekt wurde dieses nichtlineare Problem gelöst: wir konnten die optimale Regularität der Wurzeln unter minimalen Voraussetzungen erzielen. Die Uniformität unserer Abschätzungen hat vielseitige Anwendbarkeit der Resultate zur Folge. Die neue Methode, die wir für die Beweise entwickelt haben, wird zur Lösung einer Reihe weiterer Probleme der Differentiellen Analysis und darüber hinaus beitragen. Die eng verwandte Störungstheorie linearer Operatoren hat beispielsweise im Rahmen des Projektes eine Anwendung in der Kosmologie für Bosonensterne gefunden. Ein weiterer Schwerpunkt des Projektes war das Studium von ultradifferenzierbaren Funktionenklassen. Das sind Teilklassen der Klasse der unendlich oft differenzierbaren Funktionen, die vor allem in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen ein bedeutende Rolle spielen. Es gibt zwei historische, nicht völlig kompatible Zugänge zu diesen Klassen. Im Rahmen des Projektes wurde eine ultradifferenzierbare Theorie entwickelt, die beide Zugänge umfasst, und erfolgreich zur Lösung einiger Problem angewandt. Beispielsweise wurde ein Kalkül für die ultradifferenzierbare Analysis im Unendlichdimensionalen entwickelt, Ausdehnungseigenschaften für ultradifferenzierbare Whitney-Jets charakterisiert und Anwendungen in der Microlokalen Analysis und der Asymptotischen Entwicklung und Summabilitätstheorie erbracht. Von besonderem Interesse in der Geometrie sind die quasianalytischen ultradifferenzierbaren Klassen, deren Elemente schon durch die sukzessiven Ableitungen in einem Punkt eindeutig bestimmt sind. Wir konnten beweisen, dass quasianalytische Ultradifferenzierbarkeit (im Gegensatz zur nicht-quasianalytischen) niemals in niedrigerer Dimension getestet werden kann. Ein verwandtes Thema, das im Projekt ausgiebig studiert wurde, waren Diffeomorphismengruppen verschiedener Regularität im n-dimensionalen Euklidischen Raum. Für eine Vielzahl von Regularitätsklassen konnten wir zeigen, dass die entsprechenden Diffeomorphismen eine unendlich dimensionale Lie-Gruppe bilden. Als Anwendung wurde die 1-dimensionale Hunter-Saxton Gleichung, welche im Studium von Flüssigkristallen auftaucht, in einigen dieser Klassen gelöst. In Bezug auf endliche Differenzierbarkeit (im Banachraum Setting) studierten wir Gruppen von Hölder- und Besov-Diffeomorphismen. Diese sind keine topologischen Gruppen, aber dennoch konnten wir starke Regularitätseigenschaften beweisen, insbesondere Abgeschlossenheit unter der Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Fortschritte wurden auch in der Analysis auf singulären Räumen erzielt. Einerseits wurden Liftingsprobleme für Orbiträume von Gruppenwirkungen studiert, andererseits eine große Klasse von singulären Räumen gefunden, für welche die Glattheit von Funktionen, die auf diesen Räumen definiert sind, auf glatten Kurven getestet werden kann.

Forschungsstätte(n)
  • Universität Wien - 100%
Internationale Projektbeteiligte
  • Krzysztof Kurdyka, Universite de Savoie - Frankreich
  • Adam Parusinski, Université Côte d´Azur - Frankreich
  • Jean-Philippe Rolin, Université de Bourgogne - Frankreich
  • Ferruccio Colombini, University of Pisa - Italien
  • Sergio Spagnolo, Università degli Studi di Pisa - Italien
  • Patrick Speissegger, McMaster University - Kanada
  • Edward Bierstone, University of Toronto - Kanada

Research Output

  • 218 Zitationen
  • 52 Publikationen
Publikationen
  • 2018
    Titel On time-dependent Besov vector fields and the regularity of their flows
    DOI 10.48550/arxiv.1804.07595
    Typ Preprint
    Autor Nenning D
  • 2018
    Titel O-Minimality and its Applications to Number Theory and Analysis
    DOI 10.4171/owr/2017/22
    Typ Journal Article
    Autor Kaiser T
    Journal Oberwolfach Reports
    Seiten 1349-1420
    Link Publikation
  • 2021
    Titel Summability in a monomial for some classes of singularly perturbed partial differential equations
    DOI 10.5565/publmat6512103
    Typ Journal Article
    Autor Carrillo S
    Journal Publicacions Matemàtiques
    Seiten 83-127
    Link Publikation
  • 2018
    Titel Quasianalytic ultradifferentiability cannot be tested in lower dimensions
    DOI 10.48550/arxiv.1810.10767
    Typ Preprint
    Autor Rainer A
  • 2018
    Titel On the extension of Whitney ultrajets, II
    DOI 10.48550/arxiv.1808.10253
    Typ Preprint
    Autor Rainer A
  • 2018
    Titel Arc-smooth functions on closed sets
    DOI 10.48550/arxiv.1801.08335
    Typ Preprint
    Autor Rainer A
  • 2018
    Titel Summability in a monomial for some classes of singularly perturbed partial differential equation
    DOI 10.48550/arxiv.1803.06719
    Typ Preprint
    Autor Carrillo S
  • 2018
    Titel On groups of Hölder diffeomorphisms and their regularity
    DOI 10.1090/tran/7269
    Typ Journal Article
    Autor Nenning D
    Journal Transactions of the American Mathematical Society
    Seiten 5761-5794
    Link Publikation
  • 2018
    Titel The Trouvé group for spaces of test functions
    DOI 10.1007/s13398-018-0581-1
    Typ Journal Article
    Autor Nenning D
    Journal Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Serie A. Matemát
    Seiten 1799-1822
    Link Publikation
  • 2018
    Titel Moser’s theorem on manifolds with corners
    DOI 10.1090/proc/14130
    Typ Journal Article
    Autor Bruveris M
    Journal Proceedings of the American Mathematical Society
    Seiten 4889-4897
    Link Publikation
  • 2018
    Titel Optimal Sobolev regularity of roots of polynomials
    DOI 10.24033/asens.2376
    Typ Journal Article
    Autor Adam Parusinski
    Journal Annales scientifiques de l'École normale supérieure
    Seiten 1343-1387
    Link Publikation
  • 2018
    Titel Non-singular space-times with a negative cosmological constant: V. Boson stars
    DOI 10.1007/s11005-018-1062-3
    Typ Journal Article
    Autor Chrusciel P
    Journal Letters in Mathematical Physics
    Seiten 2009-2030
  • 2019
    Titel On the extension of Whitney ultrajets
    DOI 10.4064/sm170906-23-11
    Typ Journal Article
    Autor Rainer A
    Journal Studia Mathematica
    Seiten 255-287
    Link Publikation
  • 2015
    Titel On the Borel mapping in the quasianalytic setting
    DOI 10.48550/arxiv.1509.05565
    Typ Preprint
    Autor Rainer A
  • 2015
    Titel A new proof of Bronshtein’s theorem
    DOI 10.1142/s0219891615500198
    Typ Journal Article
    Autor Parusinski A
    Journal Journal of Hyperbolic Differential Equations
    Seiten 671-688
    Link Publikation
  • 2015
    Titel Equivalence of stability properties for ultradifferentiable function classes
    DOI 10.1007/s13398-014-0216-0
    Typ Journal Article
    Autor Rainer A
    Journal Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Serie A. Matemát
    Seiten 17-32
  • 2016
    Titel Extension of Whitney jets of controlled growth
    DOI 10.48550/arxiv.1607.01206
    Typ Preprint
    Autor Rainer A
  • 2016
    Titel Moser's theorem on manifolds with corners
    DOI 10.48550/arxiv.1604.07787
    Typ Preprint
    Autor Bruveris M
  • 2016
    Titel Regularity of roots of polynomials
    DOI 10.2422/2036-2145.201404_014
    Typ Journal Article
    Autor Parusinski A
    Journal ANNALI SCUOLA NORMALE SUPERIORE - CLASSE DI SCIENZE
    Seiten 481-517
    Link Publikation
  • 2016
    Titel On groups of Hölder diffeomorphisms and their regularity
    DOI 10.48550/arxiv.1612.03390
    Typ Preprint
    Autor Nenning D
  • 2016
    Titel Regularity of roots of polynomials
    Typ Journal Article
    Autor Parusinski Adam
    Journal ANNALI DELLA SCUOLA NORMALE SUPERIORE DI PISA-CLASSE DI SCIENZE
    Seiten 481-517
  • 2015
    Titel Characterization of ultradifferentiable test functions defined by weight matrices in terms of their Fourier transform
    DOI 10.48550/arxiv.1502.07387
    Typ Preprint
    Autor Schindl G
  • 2015
    Titel Optimal Sobolev regularity of roots of polynomials
    DOI 10.48550/arxiv.1506.01512
    Typ Preprint
    Autor Parusinski A
  • 2015
    Titel The convenient setting for ultradifferentiable mappings of Beurling- and Roumieu-type defined by a weight matrix
    Typ Journal Article
    Autor Schindl Gerhard
    Journal BULLETIN OF THE BELGIAN MATHEMATICAL SOCIETY-SIMON STEVIN
    Seiten 471-510
  • 2015
    Titel LIFTING DIFFERENTIABLE CURVES FROM ORBIT SPACES
    DOI 10.1007/s00031-015-9346-5
    Typ Journal Article
    Autor Parusinski A
    Journal Transformation Groups
    Seiten 153-179
  • 2014
    Titel The convenient setting for ultradifferentiable mappings of Beurling- and Roumiue-type defined by a weight matrix
    DOI 10.48550/arxiv.1412.6165
    Typ Preprint
    Autor Schindl G
  • 2017
    Titel Selections of bounded variation for roots of smooth polynomials
    DOI 10.48550/arxiv.1705.10492
    Typ Preprint
    Autor Parusinski A
  • 2017
    Titel Extension of Whitney jets of controlled growth
    DOI 10.1002/mana.201600321
    Typ Journal Article
    Autor Rainer A
    Journal Mathematische Nachrichten
    Seiten 2356-2374
    Link Publikation
  • 2020
    Titel On the extension of Whitney ultrajets, II
    DOI 10.4064/sm180903-12-11
    Typ Journal Article
    Autor Rainer A
    Journal Studia Mathematica
    Seiten 283-295
    Link Publikation
  • 2020
    Titel Almost analytic extensions of ultradifferentiable functions with applications to microlocal analysis
    DOI 10.1016/j.jmaa.2019.123451
    Typ Journal Article
    Autor Fürdös S
    Journal Journal of Mathematical Analysis and Applications
    Seiten 123451
    Link Publikation
  • 2020
    Titel Selections of bounded variation for roots of smooth polynomials
    DOI 10.1007/s00029-020-0538-z
    Typ Journal Article
    Autor Parusinski A
    Journal Selecta Mathematica
    Seiten 13
    Link Publikation
  • 2020
    Titel Tauberian theorems for k–summability with respect to an analytic germ
    DOI 10.1016/j.jmaa.2020.124174
    Typ Journal Article
    Autor Carrillo S
    Journal Journal of Mathematical Analysis and Applications
    Seiten 124174
  • 2016
    Titel Log-convex sequences and nonzero proximate orders
    DOI 10.48550/arxiv.1607.08027
    Typ Preprint
    Autor Jiménez-Garrido J
  • 2016
    Titel Characterization of ultradifferentiable test functions defined by weight matrices in terms of their Fourier Transform
    DOI 10.1285/i15900932v36n2p1
    Typ Journal Article
    Autor Schindl Gerhard
    Journal NOTE DI MATEMATICA
    Seiten 1-35
  • 2016
    Titel The exponential law for spaces of test functions and diffeomorphism groups
    DOI 10.1016/j.indag.2015.10.006
    Typ Journal Article
    Autor Kriegl A
    Journal Indagationes Mathematicae
    Seiten 225-265
    Link Publikation
  • 2019
    Titel Arc-smooth functions on closed sets
    DOI 10.1112/s0010437x19007097
    Typ Journal Article
    Autor Rainer A
    Journal Compositio Mathematica
    Seiten 645-680
    Link Publikation
  • 2019
    Titel Quasianalytic ultradifferentiability cannot be tested in lower dimensions
    DOI 10.36045/bbms/1576206353
    Typ Journal Article
    Autor Rainer A
    Journal Bulletin of the Belgian Mathematical Society - Simon Stevin
    Seiten 505-517
    Link Publikation
  • 2019
    Titel On time-dependent Besov vector fields and the regularity of their flows
    DOI 10.1090/proc/14821
    Typ Journal Article
    Autor Nenning D
    Journal Proceedings of the American Mathematical Society
    Seiten 623-638
    Link Publikation
  • 2019
    Titel Almost analytic extensions of ultradifferentiable functions with applications to microlocal analysis
    DOI 10.48550/arxiv.1904.07634
    Typ Preprint
    Autor Fürdös S
  • 2019
    Titel Tauberian theorems for $k$--summability with respect to an analytic germ
    DOI 10.48550/arxiv.1903.08898
    Typ Preprint
    Autor Carrillo S
  • 2019
    Titel Bernoulli and Euler numbers from divergent series
    DOI 10.48550/arxiv.1903.09228
    Typ Preprint
    Autor Carrillo S
  • 2014
    Titel An exotic zoo of diffeomorphism groups on Rn
    DOI 10.1007/s10455-014-9442-0
    Typ Journal Article
    Autor Kriegl A
    Journal Annals of Global Analysis and Geometry
    Seiten 179-222
    Link Publikation
  • 2014
    Titel Lifting differentiable curves from orbit spaces
    DOI 10.48550/arxiv.1406.2485
    Typ Preprint
    Autor Parusinski A
  • 2014
    Titel Equivalence of stability properties for ultradifferentiable function classes
    DOI 10.48550/arxiv.1407.6673
    Typ Preprint
    Autor Rainer A
  • 2014
    Titel The exponential law for spaces of test functions and diffeomorphism groups
    DOI 10.48550/arxiv.1411.0483
    Typ Preprint
    Autor Kriegl A
  • 2014
    Titel An exotic zoo of diffeomorphism groups on $\mathbb R^n$
    DOI 10.48550/arxiv.1404.7033
    Typ Preprint
    Autor Kriegl A
  • 2017
    Titel On the Borel mapping in the quasianalytic setting
    DOI 10.7146/math.scand.a-97101
    Typ Journal Article
    Autor Rainer A
    Journal MATHEMATICA SCANDINAVICA
    Seiten 293-310
    Link Publikation
  • 2017
    Titel The Trouvé group for spaces of test functions
    DOI 10.48550/arxiv.1711.01196
    Typ Preprint
    Autor Nenning D
  • 2017
    Titel On the extension of Whitney ultrajets
    DOI 10.48550/arxiv.1709.00932
    Typ Preprint
    Autor Rainer A
  • 2017
    Titel Non-singular spacetimes with a negative cosmological constant: V. Boson stars
    DOI 10.48550/arxiv.1708.02878
    Typ Preprint
    Autor Chrusciel P
  • 2017
    Titel Log-convex sequences and nonzero proximate orders
    DOI 10.1016/j.jmaa.2016.11.069
    Typ Journal Article
    Autor Jiménez-Garrido J
    Journal Journal of Mathematical Analysis and Applications
    Seiten 1572-1599
    Link Publikation
  • 0
    Titel On the extension of Whitney ultrajets, II
    Typ Journal Article
    Autor Rainer
    Journal Studia Mathematica

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