Optimale Adaptivität für BEM und FEM-BEM-Kopplung

Das Ziel adaptiver Netzverfeinerungsstrategien ist die Berechnung einer diskreten Lösung mit vorgegebener Genauigkeit und bis auf multiplikative Konstante minimalem Aufwand. Obwohl bereits seit den 1980er Jahren erfolgreich eingesetzt, können über die empirisch beobachtete Optimalität adaptiver Strategien vergleichsweise wenig zuverlässige Aussagen getroffen werden. Mit dem aktuellen Projekt soll nun das mathematische Verständnis adaptiver Algorithmen wesentlich erweitert werden. Der Schwerpunkt liegt dabei auf integralgleichungsbasierten numerischen Methoden für elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Zunächst betrachten wir die Randelementmethode (engl. BEM, boundary element method). Aufbauend auf eigenen neuen Resultaten für BEM niedrigster Ordnung, soll die Theorie optimal konvergenter adaptiver BEM auf Ansatzräume mit Polynomen höheren Grades und über das Laplace-Modellproblem hinaus verallgemeinert werden. Ein wesentlicher Aspekt ist dabei die adaptive Approximation der gegebenen Problemdaten und der involvierten diskreten Randintegraloperatoren. Das Ziel ist der mathematische Beweis optimaler Konvergenzraten, wobei diese nur durch die Regularität der gegebenen Daten und der (unbekannten) Lösung bestimmt werden. Darüberhinaus betrachten wir die numerische Kopplung von Finiten Elementen (engl. FEM, finite element method) mit BEM. Solche Diskretisierungen treten beispielsweise für Potentialprobleme unter nichtlinearen Materialgesetzen auf. Auch hier zielen wir auf den Beweis optimalen Konvergenzverhaltens für den adaptiven Algorithmus ab. Mathematische Herausforderungen liegen dabei zum einen in der Behandlung möglicher Nichtlinearitäten im FEM-Bereich, aber auch darin, dass der zugrundeliegende Kopplungsoperator nicht-symmetrisch und/oder nicht-elliptisch ist. Beides verbietet die Adaption bekannter Techniken aus der Literatur, und erfordert einen neuen mathematischen Rahmen. Grundsätzlich erlaubt die Verwendung feinerer Gitter eine bessere Auflösung der Problemgeometrie. Dieser Aspekt ist in der aktuellen Literatur bisher im Wesentlichen vernachlässigt worden. Anstattdessen wurde voraugesetzt, dass das gegebene Startgitter die Problemgeometrie bereits exakt auflöst. Die Entwicklung eines konvergenten adaptiven Verfahrens, welches die adaptive Geometrieapproximation mitsteuert, ist von zentraler Bedeutung für Anwendungen, und der mathematische Beweis optimaler Konvergenzraten wäre ein wesentlicher Beitrag zum Verständnis adaptiver Verfahren.

Die mathematisch-fundierte Fehlerschätzung ist von zentraler Bedeutung in numerischen Simulationen, um zuverlässige und effiziente Ergebnisse zu erhalten: Einerseits liefert sie dem Anwender Information, ob das berechnete Simulationsergebnis hinreichend genau ist. Andererseits kann die Diskretisierung verbessert werden, indem man beispielsweise das zugrunde liegende Netz verfeinert, wenn das Simulationsergebnis nicht in der benötigten Genauigkeit vorliegt. Beide Aspekte werden mathematisch durch sogenannte a posteriori Fehlerabschätzungen abgedeckt, deren Beiträge dann zur Steuerung adaptiver Netzverfeinerungsstrategien dienen. Im Kontext der Finite Element Methode (FEM) sind in der wissenschaftlichen Literatur zahlreiche Fehlerschätzer vorgeschlagen und analysiert worden, und sowohl Konvergenz als auch Optimalität adaptiver Algorithmen konnte in den jüngsten Jahren mathematisch bewiesen werden. Im geförderten Projekt wurden a posteriori Fehlerabschätzungen und optimale Netzverfeinerungsalgorithmen für Integralgleichungen sowie die Kopplung von Integral- und Differenzialgleichungen entwickelt und mathematisch analysiert.