Criticality und systemisches Risiko in dynamischen Netzwerken

Finanzmärkte und sozio-ökonomische Systeme können extrem anfällig sein. Die Abstürze am Finanzmarkt in letzter Zeit sind bekannt, und die Auswirkungen auf die Gesellschaft waren signifikant. Als Reaktion auf diese Krisen schienen die klassischen verfügbaren Werkzeuge der Finanzmathematik von sehr begrenztem Nutzen zu sein. Zum Beispiel bemerkte der Präsident der Europäischen Zentralbank (EZB), Jean Claude Trichet, im Jahr 2010: Als politische Entscheidungsträger in der Krise fand ich die verfügbaren Modelle nur bedingt hilfreich. In der Tat ich würde noch weiter gehen und feststellen, angesichts der Krise fühlten wir uns von herkömmlichen Werkzeugen verlassen. Dies ist ein direkter Aufruf zusätzliche Methoden im Bereich der Grundlagenforschung zu entwickeln. In dem Projekt wollen wir dazu beitragen diese zusätzlichen Werkzeuge an der Schnittstelle zwischen angewandter Mathematik, theoretischer Physik, komplexen Systemen und Wirtschaft zu entwickeln. Unser Fokus ist es, Netzwerk-basierte Modelle zu betrachten, in denen Wirtschaftsakteure als Knoten und ihre Interaktionen als Links dargestellt werden. Offensichtlich müssen diese Netzwerke dynamisch in vielerlei Hinsicht sein. Beispielsweise ändern sich der aktuelle Zustand oder die aktuelle Strategie der Marktteilnehmer und die Verbindungen der wirtschaftlichen Beziehungen sind nicht statisch. Obwohl die Konstruktion einfacher Netzwerkmodelle vergleichsweise einfach ist, bereiten sowohl deren Analyse als auch Vorhersagen extreme Schwierigkeiten. Daher ist es sinnvoll, sich auf die Netzwerk-Dynamik für bestimmte Fälle zu fokussieren. Im Projekt konzentrieren wir uns auf das Verhalten von dynamischen Netzwerken in der Nähe von Instabilitäten, d.h. wenn die Gefahr besteht, dass das System seine normale Funktionsfähigkeit verliert. Neuste Studien in verschiedenen Wissenschaften sowie neue mathematische Theorien weisen darauf hin, dass man in sehr kleinen Netzwerken auf der Basis von Messungen der Variabilität von Kenngrößen in der Lage sein kann zu erkennen, dass sich ein System in der Nähe einer kritischen Schwelle befindet. Es ist ein Hauptziel des Projekts zu versuchen, diese Idee von Frühwarnzeichen auf komplexe Netzwerkdynamiken zu übertragen. Natürlich führt dies zu grundlegenden mathematischen Fragen, zum Beispiel, wie wir kleine zu großen Modelle in Bezug setzen können, oder welche der Variablen in großen Modellen für Vorhersagen verwendet werden können. Modellierung und numerische Simulationen für die sozio-ökonomischen Systeme und die Anwendung auf Datensätze von Banknetzwerken sollten es uns ermöglichen, unsere theoretischen Erkenntnisse auch in konkreten Situationen zu validieren. Das Hauptziel des Projektes ist die Entwicklung und entsprechende Beweise fu r mathematische Methoden um Netzwerke mit systemischen Risiken besser beurteilen zu können. Dazu ist noch erheblicher Teil an Grundlagenforschung notwendig, da sich sich die Betrachtung von systemischen Risiken auf der Basis validierter Grundlagen nur mit einem erheblich erweiterten Verständnis der angewandten Mathematik und der Theorie komplexer Systeme bewerkstelligen lassen wird.

Wir haben Frühwarnsignale für Zusammenbrüche in adaptiven netzwerkdynamischen Systemen untersucht. In solchen Systemen sind die Zustände der Knotenpunkte mit der Interaktionsstruktur des Netzwerks dynamisch gekoppelt. Wir konnten zeigen, dass eine große Klasse solcher Modellsysteme vor dem Zusammenbruch eine Quantisierung der Knotenzustände aufweist. Wir zeigten, dass dieses Signal mit dem Vorhandensein eines letzten gerichteten Zyklus im Netzwerk zusammenfällt. Da die Anzahl solcher Zyklen oftmals ein Stabilitätsindikator solcher Systeme ist, stellt dieses Ergebnis den Fund eines systemischen Frühwarnsignals dar. Weiterhin äußert sich die Quantisierung allein auf der Ebene der relativen Knotenzustände ohne direkten Bezug auf das darunterliegende Netzwerk, woraus sich eine Anwendung auf Fälle ergibt, in denen der direkte Zugang zum Netzwerk nicht gegeben ist. Die Klasse, auf die unsere Resultate anwendbar ist, enthält solche Modelle, in denen die Dynamik effektiv oder approximativ linear ist, wie es beispielsweise in katalytischen Netzwerken oder nahe eines Gleichgewichtzustands der Fall ist. Insbesondere das Jain-Krishna Modell über die Evolution von Arten fällt in diese Klasse, und deshalb konnten wir für dieses Modell ein verlässliches Frühwarnsignal liefern. Wir haben außerdem Frühwarnsignale untersucht für eine weitere Klasse adaptiver Systeme, welche sich langsam auf einen Kipppunkt zubewegen. Als einen Repräsentanten dieser Klasse betrachteten wir ein klassisches adaptives epidemisches Modell, in dem infizierte Individuen genesen können oder ihren Erreger auf einen nicht-infizierten Nachbarn übertragen, während nicht-infizierte Individuen einer Infektion präemptiv durch Umlegung ihrer Kontaktpersonen vorbeugen können. Hier zeigten wir analytisch wie auch numerisch durch Simulationen, dass das Einsetzen des kritischen Übergangs mit einem Maximum gewisser Netzwerkgrößen einhergeht. Wir fokussierten uns hier auf den Übergang von einer Epidemie zu einer Situation, wo das adaptive Verhalten die Epidemie aussterben lässt. Wir haben dann auch herausgefunden, dass die klassische Theorie der Frühwarnsignale den Übergang für diese Systeme komplett verfehlen kann. Die klassische Theorie besagt für diese Systeme, dass dem kritischen Übergang ein Anstieg in Variabilität und Volatilität vorhergeht. Dies geschieht mit einem mathematischen Potenzgesetz, dass einem erlaubt, den Punkt des Übergangs zu extrapolieren. Wir konnten jedoch zeigen, dass die Anwendung dieser Technik auf diese Art der Systeme zu systematisch falschen Vorhersagen führen kann, da manche Netzwerkgrößen die Potenzgesetz-Signatur des Übergangs nicht zeigen, sondern statt dessen einen anderen Übergangspunkt indizieren. Dieses Ergebnis konnten wir analytisch-approximativ wie auch numerisch zeigen. Mit diesen Einblicken in die Theorie der Frühwarnsignale anhand zweier Klassen adaptiver Netzwerksysteme haben wir uns auch die wissenschaftlichen Gemeinde durch Vorträge auf Konferenzen und Publikationen erreicht und unser Verständnis durch Modifikationen vertieft. Durch weiterführende Projekte können wir unseren Beitrag zu diesem Forschungsfeld weiter fortsetzen.