Analytische Strukturen

Von Anfang an haben Dichotomie Sätze eine zentrale Position in der Deskriptiven Mengenlehre. Neuere Forschungen haben einen graphentheoretischen Ansatz, um Sätze zu beweisen. Das Ziel dieses Projektes ist es, das Ausmaß der Anwendbarkeit dieses Ansatzes und den Prozess neuer und alter Sätze, zu beweisen. Eines unserer Hauptanliegen beinhaltet Borel Reduzierbarkeit von Borelschen Äquivalenzrelationen. Insbesondere möchten wir einen Dichotomiesatz beweisen, der die essentielle Abzählbarkeit solcher Relationen charakterisiert, sowohl allgemein als auch in gut untersuchten Spezialfallen. Ein weiterer Schwerpunkt betrifft den Umfang, in dem der graphtheoretische Ansatz verwendet werden kann, um bekannte Dichotomiesätze festzulegen. Einige Beispiele für Sätze, die wir beweisen wollen, sind der Harrington-Marker-Shelah Dilworthstil Satz für Borelsche Quasiordnungen, die Hjorth-Kechris Dichotomien, die Sätze von Lecomte-Zeleny über abzählbare Färbungen mit beschränkte Komplexität, die Sätze von Louveau-Saint Raymond und Lecomte über (potenzielle) Komplexität von Borelschen Mengen und Dichotomiesätze von Pawlikowski-Sabok und Solecki, die sigma-stetige Borelsche Funktionen charakterisieren. Eine weiteres Interesse beinhaltet deskriptive Kakutaniäquivalenz von Borelschen Funktionen, ein Thema mit Ursprung in der Ergodentheorie. Hier konzentrieren wir uns auf die primäre Frage, die Miller-Rosendal offen lassen, ob es einen Dichotomiesatz gibt, der essentielle endlich-zu-eins Borelsche Funktionen charakterisiert. Wir sind an der Natur der deskriptiven Kakutaniäquivalenz interessiert, außerhalb der essentiellen abzählbar-zu-eins Borelschen Funktionen, als auch an der Generalisierung von bekannten Sätzen über die Borelschen Funktionen.

Die wichtigsten Ergebnisse des Projekts umfassen: (1) In ihren wegweisenden Arbeit "The classification of hypersmooth Borel equivalence relations" haben Kechris-Louveau eine Dichotomie bewiesen, die die Umstände charakterisiert, unter denen eine hypersmooth Borelsche Äquivalenzrelation auf eine hyperfinite Borelsche Äquivalenzrelation Borel reduzierbar ist. De Rancourt und ich haben eine Familie neuen Dichotomiesätze dieser Form bewiesen. (2) In ihren wegweisenden Arbeiten "Counting the number of equivalence classes of Borel and coanalytic equivalence relations" und "Borel orderings" haben Silver und Harrington-Marker-Shelah Dichotomiesätze bewiesen, die die Umstände charakterisieren, unter denen eine coanalytische Äquivalenzrelation abzählbar viele Klassen hat und der Raum einer Borelsche Quasiordnung eine abzählbare Vereinigung von Borelschen Ketten ist. Vidnynszky und ich haben eine gemeinsame Verallgemeinerung dieser Sätze bewiesen und den ersten klassischen Beweis für den letzteren erhalten. (3) In seiner Dissertation "Une version borélienne du théorème de Dilworth" hat Kada eine Stärkung des Dilworthsatz für Borelsche Quasi-Ordnungen beweisen. Carroy, Vidnynszky und ich haben mehrere Verallgemeinerungen dieses Satzes bewiesen und den ersten klassischen Beweis des ursprünglichen Satzes erhalten. (4) In ihrer Arbeit "Recent developments in the theory of Borel reducibility" haben Hjorth-Kechris eine Dichotomie bewiesen, die die Umstände charakterisiert, unter denen eine Borelsche Orbitäquivalenzrelation, die durch eine Borelsche Aktion einer polnischen tsi Gruppe induziert ist, auf einen abzählbare Borelsche Äquivalenzrelation Borel reduzierbar ist. Ich habe den ersten klassischen Beweis für diesen Satz entdeckt, indem ich eine grundlegende Eigenschaft isoliert habe, die die gewünschte Reduktion ergibt. (5) Carroy, Schrittesser, Vidnynszky und ich haben eine natürliche Klasse von Borelschen Graphen L entdeckt, mit der Eigenschaft, dass jeder gegebene analytische Graph genau dann eine Borelsche Zweifarbigkeit zulässt, wenn er kein homomorphes Borel-Bild von L enthält. (6) De Rancourt und ich haben abzählbare unendliche Basen entdeckt, die enthalten minimaler Gegenbeispiele zu den Verallgemeinerungen der Sätze von Feldman-Moore, Glimm-Effros und Lusin-Novikov auf Quotienten polnischer Räume durch Borelsche Orbitäquivalenzrelationen, wobei wir frühere Arbeiten von Conley-Miller und Marks-Miller verallgemeinert und ein paar offene Fragen von Kechris beantwortet haben. (7) Unter der Annahme, dass jede (Z * Z)-bestellbare Borelsche Äquivalenzrelation hyperfinite ist, habe ich mehrere algebraische Sätze bezüglich der Gruppe G der Permutationen von R / Q bewiesen, deren Graphen Borel sind, wenn sie als Teilmengen von R x R betrachtet werden. Zum Beispiel, dass jedes Element von G die Produkte von drei Involutionen und einer Kommutator ist sowie dass G die Bergman Eigenschaft und genau vier richtige normale Untergruppen hat. Der erster Satz beantwortet eine Frage von Kechris. (8) Geschke, Grebk und ich haben bewiesen, dass das Li-Yorke Chaos eines polnischen dynamischen Systems die Existenz einer scrambled Cantor Menge impliziert das eine von Blanchard-Huang-Snoha gestellte Frage beantwortet.