Analytische Torsion filtrierter Mannigfaltigkeiten

Abstrakt: Im Rahmen dieses Forschungsprojekts sollen spektrale Eigenschaften von Differentialoperatoren untersucht werden, die mit geometrischen Strukturen auf geschlossenen Mannigfaltigkeiten assoziiert sind. Es sollen neue Spektralinvarianten konstruiert werden und mit globalen Eigenschaften der zugrundeliegenden Geometrie in Beziehung gebracht werden. Die zu untersuchenden Spektralinvarianten werden als analytische Torsion bezeichnet. Ein prototypisches Beispiele aus der Riemannschen Geometrie bildet die klassische Ray-Singer Torsion. Diese Invariante wird mit Hilfe des (diskreten) Spektrums von Laplace Operatoren definiert und steht in engem Zusammenhang mit der Reidemeister Torsion, einer subtilen topologischen (globalen) Invariante. Diese Laplace Operatoren sind elliptisch und werden mit Hilfe des de Rham Komplex konstruiert. Jüngst haben Rumin und Seshadri eine ähnliche Invariante für Kontaktstrukturen vorgeschlagen, die auf hypoelliptischen, mit dem Rumin Komplex assoziierten Operatoren basiert. In diesem Projekt soll das Studium der analytischen Torsion auf eine große Klasse filtrierter Mannigfaltigkeiten erweitert werden, die alle regulären parabolischen Geometrien umfasst. Jede dieser Geometrien liefert einen Rumin Komplex. Im Wesentlichen ist klar, wie die Definition der analytischen Torsion dieses Komplexes aussehen sollte. Die notwendige Analysis ist allerdings noch nicht vollständig entwickelt. Für einige Geometrien steht bereits eine rigorose Definition zur Verfügung. Unter diesen Geometrien findet sich eine interessante 5-dimensionale Struktur mit dem schwerfälligen Namen ``Rang zwei Distributionen von Cartan Typ in fünf Dimensionen, auch bekannt als ``generische Rang zwei Distributionen in fünf Dimensionen. Diese Geometrie hängt eng mit der Ausnahme-Lie Gruppe G2 zusammen. Ihre lokalen Eigenschaften wurden seit langem ausführlich untersucht. Wir beabsichtigen die analytische Torsion dieser Geometrien zu berechnen, und damit globale Fragen wie folgende zu beantworten: Welche geschlossenen 5- Mannnigfaltigkeiten können mit einer generischen Rang zwei Distribution ausgestattet werden? Gibt es neben den offensichtlichen topologischen Obstruktionen noch weitere, geometrische Obstruktionen? Für viele Geometrien wird bei der Definition der analytischen Torsion neue Analysis benötigt, die im Rahmen des Projekts ausgearbeitet werden soll. Engel Strukturen auf 4-Mannigfaltigkeiten liefern ein wohl studiertes Beispiel einer solchen Geometrie. Wie Kontaktstrukturen, haben auch Engel Strukturen lokale Normalformen, d.h. lokal sehen je zwei Engel Strukturen gleich aus. In letzter Zeit wurden beachtliche Fortschritte bei der Konstruktion von Engel Strukturen erzielt, allerdings gibt es bisher wenige Methoden, um verschiedene Engel Strukturen zu unterschieden. Die analytische Torsion liefert eine globale Invariant, mit der wir dieses Problem in Angriff nehmen wollen.

Im Rahmen dieses Forschungsprojekts wurden spektrale Eigenschaften von Differentialoperatoren untersucht, die in natürlicher Weise mit geometrischen Strukturen auf geschlossenen Mannigfaltigkeiten assoziiert sind. Es wurden Spektralinvarianten konstruiert und mit globalen Eigenschaften der zugrundeliegenden Geometrie in Beziehung gebracht. Die untersuchten Spektralinvarianten werden als analytische Torsion bezeichnet. Ein prototypisches Beispiele aus der Riemannschen Geometrie bildet die klassische Ray-Singer Torsion. Diese Invariante wird mit Hilfe des (diskreten) Spektrums von Laplace Operatoren definiert und steht in engem Zusammenhang mit der Reidemeister Torsion, einer subtilen topologischen (globalen) Invariante. Diese Laplace Operatoren sind elliptisch und werden mit Hilfe des de Rham Komplex konstruiert. Jüngst haben Rumin und Seshadri eine ähnliche Invariante für Kontaktstrukturen vorgeschlagen, die auf hypoelliptischen, mit dem Rumin Komplex assoziierten Operatoren basiert. In diesem Forschungsprojekt wurde die Definition der analytischen Torsion auf eine große Klasse filtrierter Mannigfaltigkeiten verallgemeinert, grundlegende Eigenschaften dieser Invariante gezeigt und insbesondere beschrieben, wie diese Torsion von der Wahl geometrischer Hilfsstrukturen abhängt. Dies lässt sich direkt auf den Rumin Komplex einer interessanten 5-dimensionalen Struktur mit dem schwerfälligen Namen ``generische Rang zwei Distributionen in fünf Dimensionen'', auch bekannt als (2,3,5) Distributionen, anwenden. Diese Geometrie wurde zuerst von Cartan in einer berühmten Arbeit aus dem Jahr 1910 untersucht, worin er einen engen Zusammenhang mit der Ausnahme-Lie Gruppe G2 beschreibt. Die analytische Torsion liefert eine neue globale Invariante für das Studium der (2,3,5) Distributionen. Für (2,3,5) Distributionen auf Nilmannigfaltigkeiten ist es uns gelungen, die analytische Torsion des Rumin Komplex zu berechnen. Für diese Mannigfaltigkeiten kann die mit dem Rumin Komplex assoziierte Zeta Funktion ausgedrückt werden durch klassische Epstein Zeta Funktionen und eine weitere Funktion, die die Anzahl der Lösungen quadratischer Kongruenzen kodiert. Eine genauere Untersuchung dieses unerwarteten zahlentheoretischen Aspekts erscheint lohnenswert. Unsere Berechnungen für Nilmannigfaltigkeiten zeigen auch einen Zusammenhang mit der mathematischen Physik auf: der Rumin Komplex liefert außergewöhnliche Verallgemeinerungen der harmonischen und quartischen Oszillatoren der Quantenmechanik. Wir erhielten nicht-triviale Aussagen zu ihren Spektren und Spektraldeterminanten.