Faktorisierung von Operatoren in klassischen Banachräumen

Das Hauptziel dieses Projekts ist es Faktorisierungsresultate in einer Reihe verschiedener Banachräume zu erzielen. Darunter befinden sich gemischtnormierte Lebesgue- und Martingalräume sowie klassische Gegenbeispiele der Banachraumtheorie wie etwa der Dualraum des James-Tree-Raumes, der Dualraum des Hagler-Tree-Raumes und der Ghoussoub-Maurey Raum. Die behandelten Räume sind großteils nicht-separabel, was aufgrund einer fehlenden Basis zusätzliche Schwierigkeiten mit sich bringt. Anstatt den Raum in endlichdimensionale Bausteine zu zerlegen (Bourgains Lokalisierungsmethode), was zu einer eigenen Kategorie von Problemen führt, schlagen wir vor direkt die Geometrie des unendlichdimensionalen, nicht-separablen Raum zu nutzen. Ein eng verwandter aber gesonderter Schwerpunkt sind endlichdimensionale quantitative Faktorisierungsresultate, welche nicht nur nützlich sind um unendlichdimensionale Resultate zu erzielen, sondern sie sind auch selbst ein wichtiges Forschungsobjekt. Unser Ziel ist es große Teilräume mittels probabilistischer Blockbasen zu finden. Das letzte Ziel dieses Projekt ist es das Faktorisierungsresultat von Drewnowski und Roberts in dem Quotientenraum von Folgenräumen auf den Quotientenraum von Martingalräumen zu verallgemeinern. Unsere Strategie ist es die Techniken von Drewnowski und Roberts an Martingale anzupassen und diese mit kombinatorischen Methoden für dyadische Intervalle zu kombinieren.

Im Rahmen des Projekts wurden bedeutende Fortschritte im Erstellen eines Frameworks für die Faktorisierung von Operatoren auf einer Vielzahl von Banachräumen erzielt. Mithilfe dieses Frameworks lassen sich einfach und schnell wichtige Eigenschaften von Banachräumen, wie etwa deren Primarität nachweisen, oder überprüfen ob die Klasse der beschränkten Operatoren auf diesen Räumen ein eindeutiges maximales Ideal besitzen. Ein Schwerpunkt des Projekts waren Banachräume welche eine Schauderbasis besitzen, deren Dualräume und die klassischen biparametrischen Lebesgueräume $L^p(L^q)$, $1 \leq p,q < \infty$. Besonders hervorzuheben sind die folgenden Resultate welche im Rahmen dieses Projekt erzielt wurden: *) Es wurde ein 40 Jahre altes Problem gelöst indem bewiesen wurde dass die Räume $L^1(L^p)$, $1 < p < \infty$ primär sind. *) Durch die Untersuchung von Haarmultiplikatoren auf biparametrischen Räumen wurde ein wesentlicher Schritt bewältigt um zu zeigen dass die Räume $L^p(L^1)$, $1 < p < \infty$ primär sind (auch ein 40~Jahre altes Problem). *) Mittels two-player games wurde ein einheitliches Framework erstellt um Faktorisierungsresultate für Banachräume mit einer Schauderbasis zu erhalten, und *) dieses anschließend auf noch größere Klassen von Banachräumen ausgedehnt und weiterentwickelt um anhand konkreter und überprüfbarer Bedingungen beispielsweise die Eindeutigkeit eines maximalen Operatorenideals zu bestimmen.