Bewegungsbahnen

Roboter spielen in unserer Gesellschaft eine immer bedeutsamere Rolle, und in der Robotik gibt es viele ungelöste Herausforderungen von praktischer und theoretischer Natur. Unser Ziel ist es, Roboter zu untersuchen, die komplexe Bewegungen mit zwei Freiheitsgraden ausführen können. Wir zerlegen diese Bewegungen in Drehungen um bestimmte Drehachsen. Von Interesse sind die Kurven und Flächen, die während der Bewegung von einem Punkt durchlaufen werden. Die Untersuchung soll kinematisch sein, ohne Einbeziehung von Geschwindigkeiten und Beschleunigungen. In der Kinematik wird ein Roboter als Getriebe betrachtet, das aus festen Körpern besteht und deren relative Position durch Gelenksverbindungen eingeschränkt ist. Der Watt-Mechanismus wurde 1785 von James Watt zur Transformation einer Schubbewegung in eine Drehbewegung erfunden. Die Transformation ist nur approximativ; eine exakte Lösung wurde zu dieser Zeit als unmöglich erachtet. Dennoch gelang die Konstruktion exakter Geradführungsmechanismen 80 Jahre später durch Sarrus, Peaucellier und Lipkin. Für die Wissenschaft überraschend beschrieb Kempe im Jahr 1876 eine Methode, mit der sich für jede beliebige algebraische Kurve einen Mechanismus konstruieren lässt, der einen Teil dieser Kurve nachzeichnet. Eine moderne Version von Kempes Universalitätssatz besagt, dass auch jede Fläche im Raum als Bahn eines Punktes eines Mechanimus mit Drehgelenken auftreten kann. Auch hier gibt es Konstruktionen, sie erweisen sich in Beispielen aber als komplizierter als erwartet. Der Horizont dieses Projekts ist die Konstruktion eines Mechanismus mit der kleinstmöglichern Anzahl an Drehgelenken zur Erzeugung einer beliebigen Kurve oder Fläche. Zu diesem Zweck werden Stabgelenkgetriebe mit Mobilität höchstens zwei betrachtet. Dabei wird angenommen, dass bereits eine zusätzliche Verbindung zur Starrheit führt. Dieser Ansatz ist eng mit einem Problem in der kombinatorischen Starrheitstheorie verbunden, was zunächst etwas paradox erscheint; nämlich der Abschätzung der Anzahl von Konfigurationen eines minimal-starren Graphen. Ein weiteres verwandtes Ziel ist die Charakterisierung der Getriebe von Mobilität zwei vom geometrischen Standpunkt aus betrachtet. Es soll beispielsweise untersucht werden, ob Getriebe existieren, welche exakt fünf Drehgelenke sowie ein Schubgelenk besitzen, wobei keine zwei Achsen parallel und keine drei Achsen konkurrent sind. Dazu werden Methoden aus der algebraischen Geometrie, der Kinematik, und der kombinatorischen Starrheitstheorie verwendet.

Um Einblicke in die Bewegungen von Robotern zu gewinnen, war das erste Ziel dieses Projekts, die Bewegungsbahnen von Knoten von Graphen zu untersuchen, die sich in der Ebene bewegen. Wir nennen solche beweglichen Graphen "Kalligraphen" und ihre Bewegungsbahnen "Kopplungskurven". Ihre Ursprünge lassen sich mindestens bis ins Jahr 1785 zurückverfolgen, als James Watt einen Kalligraphen benutzte, um eine Rotationsbewegung in eine annähernd gerade Linie für seine Dampfmaschine umzuwandeln. Das Projekt finanzierte neben dem Projektleiter drei externe Postdocs, und sie sind Mitautoren von drei nachfolgenden Publikationen über Kopplungskurven von Kalligraphen. Die erste Publikation weist jedem Kalligraphen eindeutig einen Vektor zu, der aus drei ganzen Zahlen besteht. Dieser Vektor charakterisiert Invarianten seiner zugehörigen planaren Kopplungskurve und verknüpft diese Invarianten mit der Anzahl der Realisierungen sogenannter minimal starrer Graphen. Solche starren Graphen sind in der Fachwelt der Starrheit gut bekannt und finden Anwendung in den Naturwissenschaften und der Technik. Die zweite Publikation verallgemeinert diese Ergebnisse auf Kalligraphen, die sich auf der Kugel statt in der Ebene bewegen, und die dritte Publikation untersucht die Anzahl der Komponenten von planaren Kopplungskurven. Die erste Publikation folgt den ursprünglich vorgeschlagenen Methoden, obwohl sich die Beweise als viel anspruchsvoller erwiesen als erwartet. Wir hatten nicht vorhergesehen, dass der Modulraum stabiler rationaler Kurven mit markierten Punkten für Kalligraphen auf der Kugel verwendet werden würde. Solche Modulräume sind in der algebraischen Geometrie von aktuellem Interesse. Das langfristige Ziel dieses Projekts ist es, ein Gelenkgetriebe mit einer minimalen Anzahl von Gliedern und Drehgelenken zu finden, das eine gegebene kompakte Oberfläche als Bewegungsbahn hat. Dies erwies sich als unrealistisches Ziel innerhalb der zugewiesenen vier Jahre, aber wir erzielten beträchtliche Fortschritte durch die folgende Anpassung der verbleibenden Projektziele. Die grundlegendsten Gelenkgetriebe, nämlich Gelenkgetriebe mit höchstens zwei Drehgelenken, haben entweder Kugeln oder Rotationstori als Bewegungsbahnen. Kugeln und Rotationstori sind Beispiele für "himmelsartige Flächen", nämlich Flächen, die durch jeden Punkt mindestens zwei Kreise enthalten. Solche eingebetteten Flächen sind in der Kinematik, Architektur und Computer Vision von Interesse. Wir untersuchten kombinatorische und topologische Aspekte himmelsartiger Flächen in sechs Publikationen. Insbesondere in Zusammenarbeit mit der Universität Innsbruck klassifizierten wir himmelsartige Flächen als Anwendung einer verbesserten Faktorisierungsmethode für bivariate quaternionische Polynome. Solche Polynome spielen eine zentrale Rolle in der Kinematik. Die übrigen durch dieses Projekt finanzierten Publikationen untersuchen Kurven auf Flächen, die sich wie Linien in der Ebene verhalten. In Zusammenarbeit mit der Johannes Kepler Universität untersuchten wir Automorphismen solcher Flächen und unsere Ergebnisse sind im geometrischen Modellieren von Interesse. Ein weiteres unvorhergesehenes Ergebnis dieses Projekts sind Sätze über Netze von Kurven auf Flächen, und wir planen deren weitere Untersuchung.