Computational nonlinear PDEs

Das ultimative Ziel jedes numerischen Verfahrens ist die Berechnung einer diskreten Lösung mit einer vorgeschriebenen Fehlertoleranz unter minimalem Rechenaufwand. Bei der numerischen Lösung partieller Differentialgleichungen (engl. partial differential equations, PDEs) wird die Approximationsgüte der numerischen Lösung im Allgemeinen durch Singularitäten der gegebenen Daten, aber auch der unbekannten exakten Lösung negativ beeinflusst. Ferner führen nichtlineare PDEs bei der Diskretisierung auf nichtlineare Gleichung, die nicht exakt gelöst werden können, sondern durch (geschachtelte) iterative Löser approximiert werden müssen. Insgesamt muss das numerische Verfahren also (1) den Diskretisierungsfehler (2) den Linearisierungsfehler des diskreten nichtlinearen Systems (3) den algebraischen Fehler durch die inexakte Lösung der auftretenden linearen Gleichungssysteme kontrollieren und adaptiv steuern. Obwohl solche adaptiven Strategien in der Literatur bereits ausführlich diskutiert worden sind, gibt es bisher keine mathematisch rigorosen Konvergenzresultate. Im Zuge des Forschungsprojektes soll diese Lücke geschlossen werden. Insbesondere liegt der Fokus nicht mehr nur auf optimalem Konvergenzverhalten in Bezug auf die Anzahl der Freiheitsgrade, sondern auch auf optimalem Konvergenzverhalten in Bezug auf den absoluten Rechenaufwand und damit auf der totalen Rechenzeit. Gerade die Rechenzeit ist die begrenzende Größe für Anwendungen, welche dem Forschungsprojekt seine aktuelle Relevanz verleiht. Alle theoretischen Entwicklungen werden in MATLAB implementiert und auf der Homepage des Projektes der (akademischen) Öffentlichkeit zur Verfügung gestellt.