Stochastische Musterbildung bei Turing Patterns

Musterbildung ist ein dynamischer Prozess, bei dem sich selbständig periodische Muster bzw. Strukturen bilden, nachdem zuvor ein ursprünglich räumlich homogener Zustand instabil geworden ist, also ein Phasenübergang stattgefunden hat. Alan Turing, Kryptologe und Pionier der Informatik, entwickelte Algorithmen zur Beschreibung komplexer Muster anhand einfacher biochemischer Reaktions-Diffusionsgleichungen. Im Jahr 1952 schlug er vor, dass die Interaktion zwischen zwei biochemischen Substanzen mit unterschiedlichen Diffusionsraten biologische Muster erzeugen kann. Genauer, ein Protein (Aktivator), das sowohl sich selbst aktiviert, als auch ein hemmendes Protein (Inhibitor), das nur den Aktivator hemmt. Er stellte fest, dass ursprünglich homogenes Muster instabil werden, wenn der Inhibitor schneller diffundiert als der Aktivator. Mit seiner Gleichung konnte er Punktmuster, Fingerabdrücke, oder einfache Streifen generieren. Dieses Phänomen wird als diffusionsbedingte Instabilität (Turing-Instabilität) bezeichnet. Das grundlegendste Phänomen in musterbildenden Aktivator-Inhibitor-Systemen ist also, dass eine geringfügige Abweichung von der räumlichen Homogenität eine lebenswichtige positive Rückkopplung hat, die zu einer weiteren Zunahme führt. Das Vorhandensein von Nichtlinearitäten in der lokalen Dynamik, z. B. aufgrund der Hemmstoffkonzentration, führt zu einer Turing-Instabilität und zu stabilen räumlich inhomogenen Mustern. Die Reaktions-Diffusionsgleichungen wird aus dem mikroskopischen Verhalten abgeleitet, indem das Grenzverhalten untersucht wird. Aus der mikroskopischen Perspektive interpretiert man die Bewegungen der Moleküle als Ergebnis einer mikroskopischen unregelmäßigen Bewegung. Nimmt man den Grenzwert und geht von der mikroskopischen zur makroskopischen Gleichung über, vernachlässigt man die Fluktuationen um den Mittelwert. Darüber hinaus sind biologische Systeme häufig verrauschten Umgebungen, Inputs und Signalen ausgesetzt. Diese stochastischen Störungen verändern das dynamische Verhalten grundlegend. So treten z.B. bei bestimmten Werten Muster auf, wo es ohne den Zufall keine Muster entstehen würden. Öfters kommt es zu keinen stabilen Lösungen, die Muster verändern sich ständig. In unserem Projekt untersuchen wie sich der Zufall auf biochemische Systeme mit Turing-Instabilitäten auswirkt.

Wie entstehen Streifen auf Zebras, Flecken auf Tierfellen, Muster in chemischen Reaktionen oder räumliche Strukturen in biologischen Systemen? Solche Muster können durch Diffusion und chemische Reaktionen entstehen. Bereits Alan Turing zeigte, dass zwei chemische Substanzen, die miteinander reagieren und sich unterschiedlich schnell ausbreiten, aus einem zunächst gleichmäßigen Zustand räumliche Muster erzeugen können. Dieses Phänomen ist heute als Turing-Instabilität bekannt. In der Realität sind biologische, chemische und ökologische Systeme jedoch nie vollständig deterministisch. Sie sind ständig zufälligen Einflüssen ausgesetzt: Moleküle bewegen sich unregelmäßig, Umweltbedingungen schwanken, und äußere Störungen können nicht vollständig kontrolliert werden. Deshalb untersucht dieses Projekt Turing-Muster unter dem Einfluss von Zufall. Mathematisch führt dies zu stochastischen partiellen Differentialgleichungen, also Gleichungen, die sowohl räumliche und zeitlicheEntwicklung als auch zufällige Störungen beschreiben. Ziel des Projekts ist es, besser zu verstehen, wie zufällige Einflüsse die Entstehung, Stabilität und langfristige Entwicklung von Mustern verändern. Dabei werden insbesondere klassische Aktivator-Inhibitor-Modelle wie das Gray-Scott-Modell und das Gierer-Meinhardt-Modell untersucht. Diese Modelle spielen eine wichtige Rolle in der mathematischen Biologie, Chemie, Ökologie und Physik. Das Projekt verfolgte mehrere Ziele. Zunächst sollen Existenz, Eindeutigkeit und Regularität der mathematischen Lösungen untersucht werden. Danach werden numerische Verfahren entwickelt, mit denen die stochastischen Modelle zuverlässig simuliert werden können. Ein besonderes Augenmerk liegt darauf, dass die numerischen Verfahren die wesentlichen Eigenschaften der Modelle auch über lange Zeiträume korrekt wiedergeben. Darüber hinaus werden die langfristigen Eigenschaften der Systeme analysiert, etwa ob sich typische statistische Zustände einstellen oder ob zufällige Störungen neue Musterbildungen, Übergänge zwischen verschiedenen Zuständen oder metastabiles Verhalten erzeugen können. Das Projekt verbindet Methoden der stochastischen Analysis, partiellen Differentialgleichungen, numerischen Mathematik und dynamischer Systeme. Die Ergebnisse sollen dazu beitragen, zufällige Musterbildungsprozesse mathematisch besser zu verstehen und realistischere Modelle für Anwendungen, zum Beispiel in Biologie, Chemie, Ökologie zu finden.