Stochastische Musterbildung bei Turing Patterns

Musterbildung ist ein dynamischer Prozess, bei dem sich selbständig periodische Muster bzw. Strukturen bilden, nachdem zuvor ein ursprünglich räumlich homogener Zustand instabil geworden ist, also ein Phasenübergang stattgefunden hat. Alan Turing, Kryptologe und Pionier der Informatik, entwickelte Algorithmen zur Beschreibung komplexer Muster anhand einfacher biochemischer Reaktions-Diffusionsgleichungen. Im Jahr 1952 schlug er vor, dass die Interaktion zwischen zwei biochemischen Substanzen mit unterschiedlichen Diffusionsraten biologische Muster erzeugen kann. Genauer, ein Protein (Aktivator), das sowohl sich selbst aktiviert, als auch ein hemmendes Protein (Inhibitor), das nur den Aktivator hemmt. Er stellte fest, dass ursprünglich homogenes Muster instabil werden, wenn der Inhibitor schneller diffundiert als der Aktivator. Mit seiner Gleichung konnte er Punktmuster, Fingerabdrücke, oder einfache Streifen generieren. Dieses Phänomen wird als diffusionsbedingte Instabilität (Turing-Instabilität) bezeichnet. Das grundlegendste Phänomen in musterbildenden Aktivator-Inhibitor-Systemen ist also, dass eine geringfügige Abweichung von der räumlichen Homogenität eine lebenswichtige positive Rückkopplung hat, die zu einer weiteren Zunahme führt. Das Vorhandensein von Nichtlinearitäten in der lokalen Dynamik, z. B. aufgrund der Hemmstoffkonzentration, führt zu einer Turing-Instabilität und zu stabilen räumlich inhomogenen Mustern. Die Reaktions-Diffusionsgleichungen wird aus dem mikroskopischen Verhalten abgeleitet, indem das Grenzverhalten untersucht wird. Aus der mikroskopischen Perspektive interpretiert man die Bewegungen der Moleküle als Ergebnis einer mikroskopischen unregelmäßigen Bewegung. Nimmt man den Grenzwert und geht von der mikroskopischen zur makroskopischen Gleichung über, vernachlässigt man die Fluktuationen um den Mittelwert. Darüber hinaus sind biologische Systeme häufig verrauschten Umgebungen, Inputs und Signalen ausgesetzt. Diese stochastischen Störungen verändern das dynamische Verhalten grundlegend. So treten z.B. bei bestimmten Werten Muster auf, wo es ohne den Zufall keine Muster entstehen würden. Öfters kommt es zu keinen stabilen Lösungen, die Muster verändern sich ständig. In unserem Projekt untersuchen wie sich der Zufall auf biochemische Systeme mit Turing-Instabilitäten auswirkt.