Dimer Algebren auf Flaechen und nicht noethersche Geometrie

Die algebraische Geometrie ist die Untersuchung bestimmter geometrischer Räume anhand der Funktionen, die auf diesen Räumen "leben". Ein Beispiel für einen solchen geometrischen Raum ist die Parabel, gegeben durch die Gleichung y = x^2. Die Parabel ist die Menge aller Punkte (x,y) in der Ebene, die, wenn sie in die Gleichung f(x,y) = y - x^2 eingesetzt werden, Null ergeben. Die Funktionen, die auf der Parabel liegen, sind daher alle Polynome g(x,y) in den Variablen x und y, so dass zwei beliebige solche Polynome als gleich definiert sind, wenn sie sich um ein Vielfaches von f(x,y) = y - x^2 unterscheiden. So sind z. B. die beiden Funktionen 5xy^4 + 8 und 5xy^4 + 8 + y - x^2 auf der Parabel gleich, weil sie an allen Punkten der Parabel gleiche Werte liefern. Die Menge aller solcher Funktionen wird als "Ring von Funktionen" des geometrischen Raums bezeichnet (das Wort "Ring" bedeutet, dass man die Funktionen addieren und multiplizieren kann). Es gibt jedoch einige ungewöhnliche Funktionsringe, von denen man lange glaubte, dass sie nicht der Ring der Funktionen eines geometrischen Raums sein können. In früheren Arbeiten habe ich herausgefunden, dass diese ungewöhnlichen Ringe entgegen dieser Annahme sehr wohl auf geometrischen Räumen existieren, aber die Räume sind recht seltsam: Man könnte zum Beispiel eine Fläche haben, die Kurven enthält, die einzelne Punkte sind. Das heißt, ein solcher Ring kann zu einem geometrischen Raum führen, der Kurven (z. B. Linien) enthält, die nicht aus einem Kontinuum von Punkten bestehen - sie bestehen nicht aus etwas Kleinerem -, sondern selbst eindimensionale Punkte sind. In meinem Projekt werde ich diese bizarre Geometrie, die so genannte "nonnoetherische Geometrie", untersuchen. Ich werde die nonnoetherische Geometrie in zwei verschiedenen Bereichen anwenden: - auf die Untersuchung bestimmter Strukturen, die sich aus speziellen Anordnungen von Pfeilen auf Oberflächen ergeben, wie z. B. Donuts mit vielen Löchern; und - auf das Problem der Vereinheitlichung von Gravitation und Quantentheorie. Eine alte Auffassung von Zeit, die von Aristoteles, Leibniz und anderen vertreten wird, besagt, dass Zeit nur dann vergeht, wenn sich etwas ändert. Ich habe herausgefunden, dass dieser Zeitbegriff mit Hilfe der nicht-noetherischen Geometrie in die Einsteinsche Gravitationstheorie integriert werden kann. Man betrachte eine Ansammlung von Elementarteilchen. Wenn eines der Teilchen nicht mit den anderen in Wechselwirkung steht, würde es keine Veränderung feststellen und somit auch nicht den Lauf der Zeit erleben. Folglich würde die Zeit nicht entlang der Bahn des Teilchens durch die Raumzeit, der so genannten "Weltlinie", fortschreiten. Mit anderen Worten: Die Weltlinie des Teilchens wäre ein einziger eindimensionaler Punkt, was genau der Art von Geometrie entspricht, die bei unseren ungewöhnlichen Ringen auftritt. In meinem Projekt möchte ich zeigen, wie diese Änderung der Raumzeit eine konkrete Erklärung für eine der rätselhaftesten Eigenschaften der Quantenmechanik liefert: die Quanten-Nichtlokalität. Quanten-Nichtlokalität entsteht zum Beispiel, wenn zwei Teilchen verschränkt werden und sich dadurch sofort gegenseitig beeinflussen können, unabhängig davon, wie weit sie voneinander entfernt sind. Schließlich möchte ich diese neue Raumzeitgeometrie nutzen, um bestimmte Strukturen zu erklären, die in der Teilchenphysik auftreten.