Alternierende Vorzeichenanordnungen und ebene Partitionen

Alternierende Vorzeichenanordnungen und ebene Partitionen sind klassische Objekte der Abzählkombinatorik mit vielfältigen Verbindungen zu anderen Gebieten wie Algebra und Geometrie, sowie zur statistischen Mechanik. Im Fokus dieses Projekts stehen ungeklärte Zusammenhänge zwischen verschiedenen Klassen von solchen Objekten, die erstmals vor ungefähr 40 Jahren aufgetreten sind. Konkret hat man damals entdeckt, dass für gewisse Objektklassen die selbe Anzahl von Objekten auftreten. Solche Zusammenhänge werden dann besonders transparent, wenn man jedem Objekt der einen Klasse genau ein Objekt der anderen Klassen zugeordnet kann und umgekehrt. Aber genau solche Zuordnungen sind für die zu untersuchenden Objektklassen offenbar besonders schwierig zu finden. Tatsächlich gehören diese Probleme zu den schwierigsten in diesem Bereich und es ist Ziel der Projektes, einige offene Probleme in diesem Zusammenhang lösen. Nachdem Mills, Robbins and Rumsey in den 1980ern die ersten grundlegenden Vermutungen in diesem Zusammenhang aufgestellt haben, ist in den 1990ern erstmals Zeilberger und Kuperberg Beweise von sehr tiefliegenden Resultaten in dem Zusammenhang gelungen. Dafür mussten grundlegend neue Methoden entwickelt werden bzw. im Falle von Kuperberg hat sich herausgestellt, dass Methoden der Physik angewandt werden können. Seit damals wurden die Methoden vielfach weiterentwickelt, sodass nun ein systematischer Zugang für mehrere offene Probleme möglich ist. Konkret sollen existierende Rechnungen dahingehend untersucht werden, ob weitere Kennzahlen eingebaut werden können und bei Erfolg die kombinatorischen Konsequenzen ausgearbeitet werden. Es ist zu erwarten, dass in gewissen Fällen neue Rechnungen nötig sind und das wiederum sollte zu einer gewünschten Erweiterung der Methoden führen. Des Weiteren soll untersucht werden, ob existierende kombinatorische Algorithmen modifiziert werden können, um sie auf die zu untersuchenden Objektklassen anzuwenden und auch hier wird es immer wieder nötig sein, grundsätzlich neue Algorithmen zu entwickeln. Schliesslich werden wir eine relativ neue Verbindung zur algebraischen Geometrie in Form der Grothendieckpolynome untersuchen.