Regularisierung durch Rauschen: diskrete und steige Syteme

Sollte ein System in einem unvorteilhaften Zustand festhängen, kann eine externe Störung oder Kraft dieses System in einen vorteilhaften Zustand kippen lassen. Ein Beispiel wäre ein alter Röhrenfernseher mit einem verrauschten Bild. Die klassische Methode um dieses Problem zu lösen ist ein wohlplatzierter Schlag auf das Gerät. Im mathematischen Kontext dieses Projekts sind diese Störungen nicht sanfte Gewalt, sondern Zufallsprozesse. Eine Vielzahl von im Alltag vorkommenden Phänomenen kann durch Zufallsprozesse beschrieben werden. Diese werden von einer großen Zahl an kleinen, zufälligen Störungen getrieben. Am Finanzmarkt treiben kumulative Effekte von Hochfrequenzmikrotransaktionen die Entwicklung der Preise, um nur ein Beispiel zu nennen. Treiben diese kleinen, zufälligen Oszillationen stochastische Prozesse in wünschenswerte Zustände, nennt man das Regularisierung durch Rauschen. Unser Projekt untersucht die Theorie, Analyse und computergestützte Behandlung von stochastischen Differentialgleichungen mit solchen Effekten. Ausgehend von etablierten mathematischen Werkzeugen werden wir die theoretischen Grundlagen entwickeln um zu verstehen, wie verschiedenste stochastische Prozesse Regularisierung erzeugen können. Ein weiterer Aspekt ist zu Untersuchung wie Regularisierungseffekte in numerischen Methoden die Effizienz von Berechnungen am Computer erhöhen können.