Regularisierung durch Rauschen: diskrete und steige Syteme

Sollte ein System in einem unvorteilhaften Zustand festhängen, kann eine externe Störung oder Kraft dieses System in einen vorteilhaften Zustand kippen lassen. Ein Beispiel wäre ein alter Röhrenfernseher mit einem verrauschten Bild. Die klassische Methode um dieses Problem zu lösen ist ein wohlplatzierter Schlag auf das Gerät. Im mathematischen Kontext dieses Projekts sind diese Störungen nicht sanfte Gewalt, sondern Zufallsprozesse. Eine Vielzahl von im Alltag vorkommenden Phänomenen kann durch Zufallsprozesse beschrieben werden. Diese werden von einer großen Zahl an kleinen, zufälligen Störungen getrieben. Am Finanzmarkt treiben kumulative Effekte von Hochfrequenzmikrotransaktionen die Entwicklung der Preise, um nur ein Beispiel zu nennen. Treiben diese kleinen, zufälligen Oszillationen stochastische Prozesse in wünschenswerte Zustände, nennt man das Regularisierung durch Rauschen. Unser Projekt untersucht die Theorie, Analyse und computergestützte Behandlung von stochastischen Differentialgleichungen mit solchen Effekten. Ausgehend von etablierten mathematischen Werkzeugen werden wir die theoretischen Grundlagen entwickeln um zu verstehen, wie verschiedenste stochastische Prozesse Regularisierung erzeugen können. Ein weiterer Aspekt ist zu Untersuchung wie Regularisierungseffekte in numerischen Methoden die Effizienz von Berechnungen am Computer erhöhen können.

Das Projekt zielte darauf ab, den aktuellen Stand der Forschung zur "Regularisierung durch Rauschen" in stochastischen Differentialgleichungen voranzutreiben. Dieser mathematische Fachbegriff beschreibt das Phänomen, dass eine Dynamik mit einer sehr irregulären Tendenz (auch als singulärer Drift bezeichnet) durch eine externe stochastische Kraft unterstützt werden kann, deren Zufallseffekte dabei helfen, die irregulären "Fallen" der Bewegung zu vermeiden. Unser Ziel war es, einen präzisen theoretischen Rahmen zu entwickeln, der definiert, welche Arten von Zufall welches Ausmaß an Glättungseffekten bewirken. Die theoretischen Grundlagen bilden zudem die Basis für die numerische Analysis von Rechenmethoden, die zur Simulation solcher stochastischen Systeme eingesetzt werden. Wir haben bedeutende Fortschritte bei der genauen Charakterisierung der Regularisierung durch fraktionale Brownsche Bewegungen erzielt. Diese Zufallsprozesse repräsentieren anomale Diffusionen mit langreichweitigem Gedächtnis und treten in zahlreichen Anwendungen auf, darunter Turbulenz, Hydrologie, anomale Polymerdynamik, Diffusion in lebenden Zellen sowie Rough-Volatility-Modelle im Finanzwesen. Die Projektergebnisse liefern sehr akkurate Beschreibungen der Regularisierungseffekte dieser Prozesse: Unter anderem haben wir präzise Kriterien für die zulässigen Singularitäten in der Dynamik, die pfadweise Wohlgestelltheit (d. h. für jede einzelne Realisierung des Zufalls) sowie eine effiziente statistische Beschreibung der Lösungen erarbeitet. Ebenso haben wir signifikante Ergebnisse bei der Analyse numerischer Verfahren erzielt. Unser Ziel war es hierbei zu verstehen, wie leistungsfähig die gängigen Rechenalgorithmen sind, wenn sie zur Simulation von Lösungen von Gleichungen mit singulärem Drift eingesetzt werden. Durch die Ableitung rigoroser Abschätzungen des algorithmischen Fehlers können wir deren Effizienz garantieren. Dies gelang in mehreren interessanten und anspruchsvollen Szenarien, einschließlich Prozessen mit Zufallssprüngen (im Gegensatz zur zuvor betrachteten kontinuierlichen Bewegung) oder Systemen, deren Entwicklung nicht nur eine Zeitdimension, sondern auch eine räumliche Dimension aufweist. Insgesamt haben wir sowohl auf der theoretischen als auch auf der rechnerischen Seite neuartige Methoden des "Stochastic Sewing" entwickelt, die zu zahlreichen neuen Ergebnissen führten und den Grundstein für die künftige Forschung auf diesem Gebiet legen.