Geometrie an der Spitze des globalen nilpotenten Kegels

In diesem Projekt untersuchen wir die Bewegung von Higgs-Bündeln, um neue Theorien in diversen Bereichen der theoretischen Physik und Mathematik zu entwickeln. Higgs-Bündel sind zweidimensionale Geschwister des berühmten Higgs-Bosons ein Elementarteilchen, das in der vierdimensionalen Raumzeit lebt, dafür verantwortlich ist, anderen Teilchen Masse zu verleihen, und kürzlich im Large Hadron Collider im CERN in Genf entdeckt wurde. Die Bewegungen von Higgs-Bündeln können vollständig beschrieben werden, da ihr mechanisches System vollständig lösbar ist. Die Größen, die die Bewegung von Higgs- Bündeln lösen, wurden 1987 von Hitchin entdeckt und bilden ein sogenanntes integrierbares System. Dieses integrierbare Hitchin-System ist ein Prototyp aller integrierbaren Systeme in der mathematischen Physik, die wichtige Modellsysteme zur Lösung komplizierter dynamischer Probleme in zahlreichen Kontexten sind. In unserem Konfigurationsraum der Higgs-Bündel gibt es einen Kern, einen sogenannten globalen nilpotenten Kegel, der mit einem Eisberg vergleichbar ist. Wir untersuchen das integrierbare Hitchin-System um die Spitze dieses Eisbergs. Der metaphorische Eisberg hat auch horizontale Schichten, die von der Spitze aus gescannt werden können. Es handelt sich dabei um Multisektionen des Hitchin-Systems. Wir durchleuchten das Hitchin-System wie mit einem Röntgenstrahl von der Spitze des nilpotenten Kegels aus. Die wichtigste Neuerung unseres Projekts ist die Einführung expliziter algebraischer Strukturen sogenannter Multiplizitätsalgebren , die ein algebraisches Maß für die Überschneidung der horizontalen Schicht mit dem Eisberg liefern. Diese Multiplizitätsalgebra befindet sich am einzigen Schnittpunkt zwischen der horizontalen Schicht und dem Eisberg und hat eine überraschend komplexe Struktur. Wir können sie in bestimmten Fällen berechnen und überraschenderweise feststellen, dass sie der Schnittring eines Grassmannschen Raums ist. Der Schnittring ist eine algebraische topologische Größe mit einer Form, welche die Schnittstruktur hochdimensionaler Löcher auf der betrachteten Oberfläche misst. Die Grassmannsche Fläche ist der Raum der linearen Teilräume in einem hochdimensionalen linearen Raum mit einer faszinierenden und gut verstandenen Form. So entdecken wir, dass die Schnittmenge zwischen den horizontalen Schichten des Röntgenstrahls und des Eisbergs durch die Überschneidungen von Löchern in bestimmten hochdimensionalen Grassmannschen Räumen verständlich ist. Daraus ergeben sich wiederum explizite Formeln für das integrierbare Hitchin-System auf diesen horizontalen Schichten die Lösung der Bewegung von Higgs-Bündeln mit expliziten Formeln. Wir stoßen dabei auf unerwartete Eigenschaften der Multiplizitätsalgebren. Sie verbinden Fragen aus der Darstellungstheorie kontinuierlicher Symmetriegruppen, der Geometrie integrierbarer mechanischer Systeme, der Spiegelsymmetrie in der Stringtheorie und der Langlands-Dualität in der Zahlentheorie miteinander. Die Ausarbeitung dieses Ideenkreises wird zu neuen Theorien führen, die mit allen oben genannten Bereichen der theoretischen Physik und Mathematik zusammenhängen.