Korrelationen von k-regulären und substitutiven Folgen

Dieses Projekt beschäftigt sich mit Zifferndarstellungen natürlicher Zahlen. Die Basis 10- Darstellung des täglichen Gebrauchs, und die in Zeiten von digitalen Computern ebensowichtige Binärdarstellung, sind Beispiele solcher Zifferndarstellungen. Eine fundamentale Fragestellung, die erstaunlicherweise noch nicht vollständig enträtselt ist, ist die folgende: Wie verändern sich die Ziffern einer Zahl, wenn man eine Konstante dazuaddiert? Beispielsweise vermutet man, dass für die meisten Zahlen die Anzahl der Einser in der Binärdarstellung der Zahl nicht kleiner wird, wenn eine Konstante addiert wird. Dieses trivial scheinende Beispiel ist jedoch repräsentativ für eine ganze Klasse von ungelösten Problemen, die sehr einfach zu formulieren, aber offenbar sehr schwierig zu beweisen sind und Verbindungen zu verschiedenen Bereichen der Mathematik aufweisen. Die obige Fragestellung, die auf T. W. Cusick zurückgeht, ist beispielsweise in der Kryptographie relevant, da ihre Beantwortung Auswirkungen auf die Konstruktion von Codes mit wünschenswerten kryptographischen Eigenschaften hätte. Bei näherem Hinsehen eng mit dieser Thematik verbunden ist die Fragestellung, wie (beispielsweise) die Binärentwicklung von Primzahlen aussieht. Erst in jüngerer Vergangenheit wurde von Mauduit und Rivat bewiesen, dass die Hälfte der Primzahlen eine gerade Anzahl von Einsen in Binärschreibweise aufweist, und die andere Hälfte eine ungerade Anzahl. Dabei ist natürlich die Hälfte ein präzise zu definierender Begriff. Ein wichtiges Ziel dieses Projektes ist es, Verallgemeinerungen dieses Satzes für gewisse substitutive Folgen zu beweisen. Als Beispiel eines solchen Resultats sei das preprint Primes as Sums of Fibonacci Numbers (gemeinsam mit M. Drmota und C. Müllner) genannt, in dem Primzahlen nicht etwa als Summe von Potenzen einer ganzzahligen Basis (wie von Mauduit und Rivat behandelt), sondern als Summe von Fibonacci- Zahlen geschrieben werden. Diese Arbeit ordnet sich in das Studium von allgemeinen substitutiven Folgen entlang der Folge der Primzahlen ein, das ein umfangreiches, unerforschtes Gebiet darstellt, welches wichtige Verbindungen zur Theorie der dynamischen Systeme aufweist. Zusammenfassend sollen Lösungen von zahlentheoretischen Problemen vorangetrieben werden, die nahe liegend, elegant und sehr einfach zu formulieren, aber schwierig zu beweisen sind und deren Beweise Methoden aus verschiedenen Bereichen der Mathematik vereinen.