Symmetrische polynome und (gerichtete) monotone Dreiecke

Im Forschungsprojekt Symmetric polynomials and (arrowed) monotone triangles werden wir spezielle symmetrische Polynome untersuchen welche zur Kombinatorik in Verbindung stehen. Konkret kodieren die betrachteten Polynome bestimmte Eigenschaften der kombinatorischen Objekte wodurch ihre Untersuchung zu einem besseren Verständnis der Objekte führt. Die in diesem Projekt betrachteten kombinatorischen Objekte sind semistandard Young Tableaux, alternierende Vorzeichenmatrizen und planare Partitionen. Alternierende Vorzeichenmatrizen (ASMs) und planare Partitionen sind kombinatorische Objekte, welche in einer faszinierenden und zugleich mysteriösen Verbindung stehen. ASMs wurden in den frühen 80ern durch David Robbins und Howard Rumsey präsentiert und können als Konfigurationen des six-vertex models, das in der statistischen Physik ausführlich erforscht wurde, dargestellt werden. Planare Partitionen wurden Ende des 19ten Jahrhunderts durch Major Percy Alexander MacMahon eingeführt und stehen unter anderem in Verbindung mit der Theorie von symmetrischen Funktionen sowie der statistischen Physik. Während der letzten vier Jahrzehnte konnte bewiesen werden, dass bestimmte Symmetrieklassen von ASMs und von planaren Partitionen gleichmächtig sind, d.h. es gibt gleich viele Objekte derselben Größe. Besonders ungewöhnlich ist dabei, dass mit einer Ausnahme keine explizite Bijektion zwischen je zwei der Klassen von Objekten bekannt ist - eine Bijektion ist eine Abbildung, die es erlaubt Objekte einer Klasse eins zu eins in Objekte einer anderen Klasse zu übersetzen. Dies ist äußerst ungewöhnlich und dadurch eine mysteriöse Situation. Die dritte Familie von kombinatorischen Objekten welche in diesem Forschungsprojekt untersucht werden sind semistandard Young Tableaux (SSYTs). Dies sind gut verstandene Objekte, da sie als die definierenden Objekte der Schur Polynome, einer sehr wichtigen und lang erforschten Familie von Polynomen, verstanden werden können. In diesem Projekt beschäftigen wir uns hingegen mit den Macdonald Polynomen, welche Schur Polynome verallgemeinern und somit mehr Informationen der SSYTs kodieren. Konkret ist unser Ziel eine Verallgemeinerung des sogenannten dualen RSK Algorithmus für Macdonald Polynome zu beweisen, den ich gemeinsam mit Gabriel Frieden vermutete. Der klassische duale RSK Algorithmus ist für Schur Polynome definiert und hat weitreichende Anwendungenin derKombinatorik,der Darstellungstheorie, der Wahrscheinlichkeitstheorie oder auch der algebraischen Geometrie. Am Forschungsprojekt sind neben Florian Schreier-Aigner und zukünftigen MitarbeiterInnen auch Ilse Fischer und Gabriel Frieden als Kooperationspartner involviert.