Probleme in zahmer Geometrie und Analysis

Die Analysis studiert das Änderungsverhalten von Funktionen. Sie entstand aus dem Versuch, die physikalische Welt zu beschreiben und vorherzusagen, und ist ein fundamentales Werkzeug der Naturwissenschaften. Der Begriff der Ableitung, d.h. der Änderungsrate, ist von zentralem Interesse, und im Weiteren Fragen der Regularität, Abhängigkeit von Anfangsbedingungen, wie weit lokale Eigenschaften globale Eigenschaften bedingen, etc. Wir werden Probleme im Grenzbereich zwischen der Analysis und der semialgebraischen Geometrie, dem Studium reeller Lösungsmengen von Polynomgleichungen und -ungleichungen, untersuchen. Polynome gehören zu den grundlegendsten Objekten der Mathematik. Wegen der Reichhaltigkeit semialgebraischer Mengen und gleichzeitig ihrer zahmen Natur hat die semialgebraische Geometrie viele nützliche Anwendungen. Das Ausdehnungsproblem, formuliert 1934 von Whitney und 70 Jahre später von Fefferman gelöst, ist eine fundamentale Frage der Analysis: Wie kann man feststellen, ob eine Funktion auf einer Menge die Einschränkung einer differenzierbaren Funktion auf dem umgebenden Raum ist? Wir werden untersuchen, inwieweit semialgebraische Geometrie bewahrt bleibt: Hat eine semialgebraische Funktion, die die Einschränkung einer differenzierbaren Funktion ist, eine semialgebraische differenzierbare Ausdehnung? Können charakteristische semialgebraische Parameter, wie die Anzahl der Polynomgleichungen und -ungleichungen und deren Grade, kontrolliert werden? Im Kern vieler analytischer Probleme ist die Frage nach der Regularität der Lösungen algebraischer Gleichungen, die von Parametern abhängen (z.B. Eigenwerte linearer Operatoren). In jüngster Zeit konnte die optimale Regularität bestimmt und gezeigt werden, dass die Lösungsabbildung beschränkt ist, bzgl. natürlicher Strukturen auf den Räumen der Koeffizienten und Lösungen. Wir werden die Stetigkeit dieser Abbildung studieren: Führt kleine Variation der Koeffizienten zu kleiner Variation der Lösungen? Differenzierbare Funktionen können i.A. wildes Verhalten aufweisen. Aber bei kontrolliertem Wachstum der Ableitungen zeigen sich oft polynomartige Eigenschaften wie effektive Schranken für die Nullstellenmenge oder nützliche Ungleichungen für den Maximalwert der Funktion auf dem Definitionsbereich hinsichtlich des Maximalwertes auf einer Teilmenge. Bisher wurde dies auf konvexen Definitionsbereichen nachgewiesen. Im Projekt soll das Verständnis dieser Ähnlichkeit mit Polynomen vertieft und auf Bereiche mit komplizierterer Geometrie erweitert werden. Leistungsstarke Theorien der Globalen Analysis basieren auf der Tatsache, dass Regularität von Abbildungen oft durch Zusammensetzung mit glatten Kurven erkannt werden kann. Das gilt auch auf zahmen abgeschlossenen Bereichen mit singulärem Rand. Die sensible Abhängigkeit von geometrischen und analytischen Eigenschaften des Definitionsbereiches sowie funktionalanalytische Aspekte der respektiven Funktionenräume soll studiert werden.