Singuläre Kardinalzahlen und Kardinalzahlcharakteristiken

In diesem Projekt werden Kardinalzahlcharakteristiken der verallgemeinerten Baireräume für eine überabzählbare singuläre Kardinalzahl untersucht. Dieses ist von der Arbeit von Shimon Garti und Saharon Shelah zur Untersuchung von Kardinalzahlcharakteristiken in verallgemeinerten Baireräumen inspiriert. Unter anderem werden wir in diesem Projekt Kardinalzahlen im verallgemeinerten Cichons Diagramm untersuchen und die Auswirkungen der Singularität darauf untersuchen. Dazu werden wir die bereits vorhanden Mittel im Gebiet der singulären Kardinalzahlen und unsere Expertise bei der Untersuchung solcher Generalisierungen einsetzen. Kardinalzahlcharakteristiken des klassischen Baireraums sind Kardinalzahlen, die vor allem die kombinatorische oder topologische Struktur der reellen Zahlen beschreiben. Sie sind normalerweise über Ideale auf den reellen Zahlen oder einer sehr ähnlichen Struktur wie ()/ definiert und nehmen normalerweise Werte zwischen 1 , der ersten überabzählbaren Kardinalzahl, und an. In Modellen, in denen die Kontinuumshypothese gilt ( 20 = 1 ), ist ihre Untersuchung also uninteressant. In Modellen von ZFC, in denen die Kontinuumshypothese falsch ist, können sie jedoch verschiedene Werte annehmen und auf verschiedene Weisen miteinander interagieren. In den letzten Jahren hat sich die Forschung vor allem auf Kardinalzahlharakteristiken der verallgemeinerten Baireräume (der Raum aller Funktionen von nach ) mit eine überabzählbare Kardinalzahl fokussiert. Mittlerweile ist der Fall, wo regulär (oder sogar large cardinal) ist, von vielen Forschern (auch der Antragstellerin) umfassend behandelt worden und es sind viele Resultate bekannt, die in ZFC beweisbare Relationen oder mit ZFC konsistente Relationen beschreiben. Jedoch sind Kardinalzahlcharakteristiken der verallgemeinerten Baireräume mit singulär noch weniger untersucht, obwohl auch singuläre Kardinalzahlen ein wichtiger Gegenstand der mengentheoretischen Forschung sind. Diese Kardinalzahlen sind durch das entscheidende Konzept der Kofinalität, das durch Julius König erstmalig beschrieben wurde, aufgekommen. Ihre Untersuchung hat viele interessante Probleme aufgeworfen und zum mengentheoretischen Teilgebiet der PCF-Theorie (PCF bedeutet `possible cofinality`) geführt. Besonderes Interesse hat beispielsweise der Untersuchung der möglichen Werte der Kontinuumsfunktion für singuläre Kardinalzahlen gegolten, was wiederum zur singular cardinal hypothesis (Singuläre Kardinalzahlhypothese, SCH) geführt hat.

Die wichtigsten Ergebnisse, die während der zwei Jahre dieses Projekts erzielt wurden, beziehen sich auf die Untersuchung von maximal almost disjoint families und maximal independent families der verallgemeinerten Baire-Räume $\lambda^\lambda$, wenn $\lambda$ ein singuläres Kardinal ist. In Bezug auf die maximal almost disjoint families für singuläre Kardinäle und basierend auf den Ergebnissen von Erdös und Shelah sowie Kojman, Kubiś und Shelah haben wir ein Modell aufgebaut, in dem die Ungleichung $\fra(\lambda) < \fra$ für $\lambda$ ein singuläres Kardinal mit abzählbarer Kofinalität gilt. Wir haben auch einige Ergebnisse bewiesen, die sich mit dem Konzept befassen, die Maximalität einer gegebenen maximal almost disjoint family bei einem singulären Kardinal $\lambda$ durch Verwendung von Forcing zu zerstören. Darüber hinaus haben wir ein preservation of madness bewiesen, wenn die Kofinalität eines gegebenen großen Kardinals $\kappa$ geändert wird. Zusätzlich, in Bezug auf maximale independence, haben wir das Konzept der independence von Familien von Teilmengen eines singulären Kardinals $\lambda$ untersucht. Zunächst haben wir mehrere grundlegende Ergebnisse bewiesen und sie mit den Eigenschaften independent families auf regulären Kardinälen verglichen. Die Hauptergebnisse dieser Untersuchungen zeigen, dass es unter der Annahme der Existenz großer Kardinäle möglich ist, eine maximal independent family bei einem singulären Kardinal $\lambda$ zu konstruieren, die ein starkes Limit für große Kardinäle darstellt.