Stochastische Prozesse in der Finanzmathematik

Die Theorie der stochastischen Integration und Martingaltheorie wird auf die Bewertung und Absicherung von Derivativen sowie andere Probleme angewendet, die im Risiko-Management der Finanz-Intermediäre auftreten. Dieses Gebiet, das von der bahnbrechenden Arbeit von F. Black, R. Merton und B. Scholes ausgeht (die "Black- Scholes-Formel" für die Bewertung von Optionen wurde 1997 mit dem Nobelpreis für Volkswirtschaft geehrt), ist in den letzten 25 Jahren rasch gewachsen. Die Forschungsgruppe von Professor Schachermayer behandelt sowohl die Grundlagen als auch angewandte Aspekte dieser Theorie.

Die Verwendung von wahrscheinlichkeitstheoretischen Methoden hat auf die Entwicklung der Finanzindustrie in den vergangenen Jahrzehnten einen wesentlichen Einfluss genommen (Stichwörter: Basel I und II). Die mathematische Theorie dahinter geht auf die Pionier-Arbeit von L. Bachelier (1900) zurück, und erlangte aufgrund der Arbeiten von F. Black, R. Merton und M. Scholes (1973) eine nachhaltige Bedeutung. Die ökonomische Grundidee dahinter, das "No-Arbitrage-Prinzip", ist bestechend einfach: ein mathematisches Modell eines Finanzmarktes muss so beschaffen sein, dass es nicht möglich ist, ohne Risiko Gewinne zu erzielen. Dieses einleuchtende und empirisch abgesicherte Prinzip ("there is no such thing as a free lunch") erlaubt erstaunlich weitreichende Schlussfolgerungen. Bei Modellierung der Preisentwicklung von Aktien auf Basis einer Brownschen Bewegung erlaubt es beispielsweise, die Preise von Optionen auf diese Aktien eindeutig zu bestimmen. Darüber hinaus erhält man eine Regel, wie eine solche Option mit Hilfe von dynamischen Handelsstrategien repliziert, also nachgebildet werden kann. Dieser auf Black-Scholes-Merton (1973) zurückgehende Ansatz, der 1997 durch den Ökonomie-Nobelpreis gewürdigt wurde, hat sich inzwischen in der praktischen Anwendung und in der theoretischen Fundierung rasch weiterentwickelt. W. Schachermayer und seine Forschungegruppe an der TU Wien haben dazu wesentlich beigetragen. Insbesondere wurde das No Arbitrage-Prinzip auf Basis eines allgemeinen mathematischen Satzes charakterisiert und mit wahrscheinlichkeitstheoretischen Erkenntnissen verknüpft. Dies hatte beispielsweise Auswirkungen auf die Theorie der Portfolio-Optimierung für risiko-averse Investoren, sowie auf die Einbeziehung von Transaktionskosten und die Modellierung der stochastischen Entwicklung von Zinskurven, wie in zahlreichen in internationalen Journalen veröffentlichten Artikeln von der Gruppe um W. Schachermayer gezeigt werden konnte.