Analytische P-Ideale, Banachräume und Maßalgebren

Dieses Projekt befasst sich mit dem teils wohlbekannten, teils neu entdeckten Wechselspiel klassischer mathematischer Objekte aus verschiedenen Gebieten wie Kombinatorik, Mengenlehre, Algebra, Geometrie und Topologie. Wir erwähnen ein paar Beispiele. Wie kompliziert kann eine endliche Menge natürlicher Zahlen sein? Für ein weniger offensichtliches Beispiel, betrachte die folgende Eigenschaft einer solchen Menge: sie hat höchstens so viele Elemente wie ihr kleinstes Element. Auch wenn diese Idee ad hoc erscheinen mag, ist die Familie dieser Mengen unter dem Namen Schreier Familie bekannt und hat in der Geschichte der unendlich dimensionalen Geometrie eine fundamentale Rolle gespielt. Unter den zahlreichen mengentheoretischen Strukturen, die wir in diesem Z usammenhang erforschen werden, sind Ideale die vielleicht wichtigsten. Dies sind Familien von Mengen natürlicher Zahlen, ganz wie die Schreier Familie aber wir erlauben auch unendliche Mengen, die in einem gewissen präzisen analytischen Sinn "dünn" sind. Nicht zuletzt, wollen wir die Familie der Menge der Ebenenpunkte erwähnen, die "eine Fläche haben" (die meisten haben keine). Diese Familie formt eine algebraische Struktur und spielt gleichzeitig eine wichtige Rolle dabei, Zeugen für Gödels ersten Unvollständigkeitssatz zu finden, nämlich mathematische Fragen, die niemals beantwortet werden können. Das Wechselspiel dieser Begriffe und Strukturen wird seit Langem erforscht. Es zeigt sich, dass gewisse Strukturen eines Gebiets aus gewissen Strukturen eines anderen Gebiets konstruiert werden können. Neben dem natürlichen Interesse, das ein solches Wechselspiel verschiedener mathematischer Gebiete verdient, eröffnen die erwähnten Konstruktionen neue Möglichkeiten, an vielstudierte klassische Konzepte heranzugehen, und stellen neue Werkzeuge bereit, die betreffenden Strukturen zu erforschen. Dies führt zu neuen Charakterisierungen teils grundlegender Eigenschaften, und zeigte in einigen Fällen neue Ansätze zur Lösung zentraler, seit langer Zeit offener Probleme auf. Dieses Projekt besteht in der Entwicklung und Anwendung dieser alten und neuen Brücken zwischen verschiedenen Gebieten, und wird hoffentlich eine systematischen Grundlage für weitere Forschung in diesem interdisziplinären Gebiet darlegen.

Der Schwerpunkt des Projektes lag auf dem Zusammenspiel von Funktionalanalysis und Mengenlehre, zwei klassischen Gebieten der Mathematik. Die Beiträge des Projektes fallen in zwei Gruppen: (1) Eines der Hauptgegenstände unserer Untersuchungen waren kombinatorische Banachräume. Diese scheinbar einfachen und eigentlich zur reinen Funktionalanalysis gehörenden Räume zeigen mehr und mehr überraschendes Potential, verschiedene, scheinbar unabhängige Gebiete miteinander zu verknüpfen. Wir haben dieses Zusammenspiel zwischen Geometrie, Topologie und Mengenlehre weiter entwickelt und ausserdem Graphentheorie zur Liste hinzufügen können. Hervorzuhebende Resultate sind: (i) wir haben eine Fülle neuer Beispiele für kombinatorische Banachräume gefunden und so die Reichhaltigkeit dieser Klasse bezeugt; (ii) wir fanden eine elegante Lösung für ein 50 Jahre altes Problem zu universellen Banachräumen; (iii) wir entdeckten eine ganz unerwartete Charakterisierung des Dualitätsphänomens via sogenannter perfekten Graphen; und (iv) wir fanden viele Unabhängigkeitsresultat in der Mengenlehre. Durch diese Entwicklungen, zusammen mit Arbeiten anderer Forscher, ist das Studium kombinatorischer Banachräume zu einem schnell wachsenden Forschungsgebiet geworden, zu finden an der Schnittstelle von Funktionalanalysis, Mengenlehre, Topologie und Kombinatorik. (2) Ein weiterer Forschungsgegenstand des Projektes waren Banachräume stetiger Funktionen, eine der wichtigsten Klassen unendlichdimensionaler Räume, die in der Funktionalanalysis untersucht werden. Unsere Hauptresultate betreffen ihre geometrische und topologische Struktur. Insbesondere untersuchten wir, wann und wenn ja wie es möglich ist, einen solchen Raum in einen anderen so einzubetten, dass die natürliche Distanz zwischen Funktionen erhalten bleibt, und wie man solche Räume in kleinere Teile zerlegen kann. Für genügend kleine Räume stetiger Funktionen haben wir verschiedene Kriterien gefunden, unter denen genannte Einbettungen existieren. Wir zeigten ausserdem, dass solche Räume in vielen Fällen als Summe kleinerer Räume stetiger Funkitonen dargestellt werden können. Unsere Resultate geben nicht nur neue Einsichten in diese Klasse von Banachräumen, sondern erweitern auch die klassische Theorie zu ihnen.