Parametrisierung und Regularität in der Reellen Geometrie

In der Analysis und der Geometrie steht man oft vor der Aufgabe, regulare Parametrisierungen fur die Losungen von Polynomgleichungen mit differenzierbaren Koeffizienten zu finden. Die Exis- tenz guter Parametrisierungen ist beispielsweise von zentraler Bedeutung fur die Storungstheorie linearer Operatoren oder fur das Cauchy Problem hyperbolischer partieller Differentialgleichungen. In Rahmen des Projektes sollen die neuen Techniken, die wir fur die Losung dieses Problems ent- wickelt haben, auf verschiedene ungeloste Probleme in der Analysis und der Geometrie angewendet werden. Im Vordergrund steht die Suche nach quantitativen Schranken fur das Hausdorffmaß von Nullstellenmengen glatter, von endlicher Ordnung verschwindender Funktionen sowie fur das Vo- lumen ihrer tubularen Umgebungen. Von besonderem Interesse sind dabei die Eigenfunktionen des Laplace-Operators. Wahrend diese Probleme in der analytischen Kategorie gut verstanden sind, gilt es fur glatte Funktionen neue Methoden zu entwickeln. Ein wichtiges Werkzeug der Reellen Geometrie ist die gleichmaßige Parametrisierung von Men- gen, die in einer o-minimalen Struktur definierbar sind. Definierbare Mengen bilden einen allge- meinen Rahmen fur die Reelle Geometrie und werden auch in der Modelltheorie studiert. Dank ihrer vielen guten topologischen, geometrischen und metrischen Eigenschaften finden sie auch in anderen Gebieten Anwendungen, z.B. in der Zahlentheorie. In den vergangenen Jahren wurden spektakulare Resultate zur Anzahl der rationalen Punkte in definierbaren Mengen erzielt. Einen wesentlichen Beitrag leisten dabei geometrische Parametrisierungen der Mengen mit uniformer Kontrolle der partiellen Ableitungen bis zu einer bestimmten endlichen Ordnung. Im Zuge des Projektes plane ich, unsere Techniken fur die Parametrisierung definierbarer Mengen zu adaptieren und damit die bekannten Methoden der regularen Parametrisierung zu verfeinern. Es sind Anwendungen fur die Anzahl rationaler Punkte und daruber hinaus zu erwarten. Ein fundamentales Resultat der glatten Analysis besagt, dass Funktionen auf offenen Mengen genau dann glatt sind, wenn ihre Kompositionen mit glatten Kurven im Definitionsbereich wieder glatt sind. Fur Funktionen auf abgeschlossenen Mengen ist das nicht notwendigerweise wahr; es hangt von der Geometrie der Menge ab. Ich konnte zeigen, dass das Resultat auf abgeschlossenen subanalytischen Mengen (unter naturlichen topologischen Annahmen) gultig ist. Subanalytische Mengen bilden eine wichtige Familie definierbarer Mengen. Es ist bekannt, dass diese nutzliche Charakterisierung von Glattheit fur allgemeine definierbare Mengen nicht stimmt. Ich erwarte aber, dass sie fur Mengen, die in polynomial beschrankten o-minimalen Strukturen definierbar sind, gultig ist. Analoge Fragestellungen ergeben sich fur reell-analytische und ultradifferenzierbare Funktionen. Daruber hinaus ist es wichtig, die naturlichen topologischen und bornologischen Eigenschaften der assoziierten Funktionenraume zu verstehen. Ein schwieriges Problem der Singularitatentheorie ist das Verstandnis der Geodaten (d.h. der langenminimierenden Kurven) auf singularen Raumen bezuglich der inneren geodatischen Distanz. Es ist bekannt, dass auf subanalytischen Mengen die Limiten der Sekanten von Geodaten existieren. Aber es ist eine offene Frage, ob die Limiten der Tangenten von Geodaten existieren, oder mit anderen Worten, ob Geodaten stetig differenzierbar sind. Es gibt eine auffallige Ahnlichkeit mit dem Regularitatsproblem fur Geodaten in der Sub-Riemannschen Geometrie. In diesem Fall sind die Geodaten entweder Losungen einer Differentialgleichung und folglich ist ihre Regularitat klar, oder die Regularitat ist nicht vollstandig verstanden. In einigen Einzelfallen gibt es jedoch spannende aktuelle Entwicklungen.

Ein Schwerpunkt des Projektes war die Regularitätstheorie von Lösungen parameterabhängiger polynomialer Gleichungen. Es wurden bedeutende und optimale Ergebnisse erzielt. Wir haben nun ein umfassendes und klares Verständnis der optimalen Regularität dieser Lösungen unter minimalen Bedingungen an die Koeffizienten. Darüber hinaus haben wir bewiesen, dass die Abbildung "Koeffizienten zu Lösungen" bzgl. natürlicher Topologien beschränkt und stetig ist. Die Verallgemeinerung dieser Techniken führte zu Hebungssätzen für komplexe Darstellungen endlicher Gruppen. Diese Sätze erweitern nicht nur die Ergebnisse für Polynome, sondern vertiefen auch unser Verständnis der Theorie in einem breiteren Kontext. Als Anwendung zeigten wir, dass die Nullstellenmengen differenzierbarer Funktionen, deren Ableitungen geeignet kontrolliert sind, erstaunliche Eigenschaften aufweisen, die denen von Polynomen ähneln. Insbesondere erhielten wir effektive Abschätzungen für die Größe dieser Nullstellenmengen und gute lokale Parametrisierungen. Aufbauend auf einem Ergebnis der Analysis mit weitreichenden Folgen, das besagt, dass eine Funktion auf einer offenen Menge glatt ist, wenn sie glatte Kurven respektiert, identifizierten wir eine breite Klasse von abgeschlossenen Mengen, die ein analoges Theorem zulassen. Diese Arbeit legt eine subtile Beziehung zwischen den analytischen Eigenschaften einer Funktion und den geometrischen Merkmalen ihres Definitionsbereichs offen. Insbesondere stellten wir eine präzise Verbindung zwischen dem Verlust von Ableitungen und der Schärfe von Singularitäten am Rand des Bereichs her. Ähnliche Ergebnisse wurden auch in der reell-analytischen Kategorie erzielt. Whitneys Erweiterungsproblem hat seit Feffermans Lösung in den frühen 2000er Jahren erhebliche Aufmerksamkeit auf sich gezogen. Im Projekt konzentrierten wir uns auf die geometrischen Aspekte des Problems und lösten einen Spezialfall einer verwandten Vermutung. Konkret charakterisierten wir die partiell definierten Funktionen im euklidischen Raum, die Einschränkungen global definierter Funktionen einer bestimmten Regularität (C^1 mit einem gegebenen Stetigkeitsmodul für die Ableitungen erster Ordnung) sind und die in einer o-minimalen Erweiterung des reellen Körpers definierbar sind. Dies wurde erreicht, indem wir einen definierbaren Lipschitz-Auswahlsatz für bestimmte mengenwertige Abbildungen bewiesen, was auch zu weiteren interessanten Anwendungen führte. Darüber hinaus zeigten wir die Uniformität und Beschränktheit der Erweiterung, indem wir eine gleichmäßig beschränkte Version des definierbaren Whitney-Jet-Erweiterungssatzes bewiesen. Weiters studierten wir Erweiterungsprobleme im Kontext ultradifferenzierbarer Funktionen und fanden vielfach optimale Lösungen. Ultradifferenzierbare Funktionen bilden Klassen von unendlich oft differenzierbaren Funktionen mit Wachstumsbeschränkungen für die unendliche Folge von Ableitungen, welche die Cauchy-Abschätzungen für analytische Funktionen verallgemeinern. Wir untersuchten auch ein breites Spektrum an Problemen der ultradifferenzierbaren Analysis, und zwar in großer Allgemeinheit. Dies umfasste das Studium nichtlinearer Bedingungen für Ultradifferenzierbarkeit, die Erforschung funktionalanalytischer Eigenschaften von Räumen ultradifferenzierbarer Funktionen und die Anwendung dieser Ergebnisse in der mikrolokalen Analysis.