Lange Spiele und Determiniertheit wenn alle Mengen uB sind

Was meinen wir eigentlich, wenn wir sagen, dass etwas unendlich groß ist? Wie viele verschiedene Unendlichkeiten gibt es und wie sehen diese aus? Diese und ähnliche Fragen bilden die Grundpfeiler der Mengenlehre, ein Spezialgebiet der mathematischen Logik. In diesem Gebiet, genauer im Teilgebiet der Theorie der inneren Modelle, ist das Forschungsprojekt Lange Spiele und Determiniertheit wenn alle Mengen uB sind angesiedelt. Es bewegt sich an der Grenze dessen, was in der Mathematik bewiesen werden kann und trägt dazu bei bestimmte unendlich große Objekte (sogenannte große Kardinalzahlen) besser zu verstehen. Zwei zentrale Begriffe in der Theorie der inneren Modelle sind große Kardinalzahlen und Determiniertheitsaxiome. Das Besondere an diesen beiden Konzepten ist, dass sie auf den ersten Blick und auch historisch betrachtet nicht viel miteinander zu tun haben. Überraschenderweise konnte jedoch in den 80er Jahren gezeigt werden, dass beide Begriffe eng miteinander verbunden sind. Große Kardinalzahlen sind Axiome, welche die Existenz von unvorstellbar großen Zahlen mit nützlichen Eigenschaften fordern. Determiniertheitsaxiome haben dagegen einen direkten Einfluss auf die Struktur der Mengen von reellen Zahlen, also auf relativ kleine Objekte in der Hierarchie der Unendlichkeiten. Sie sind vergleichsweise leicht zu definieren und besagen, dass in bestimmten unendlich langen Zwei -Personen-Spielen immer einer der beiden Spieler eine Gewinnstrategie besitzt. Die Tatsache, dass solche leicht zu definierenden Aussagen weder bewiesen noch widerlegt werden können, macht den Begriff der Determiniertheit besonders interessant. Das konkrete Ziel dieses Forschungsprojektes ist es unser bisheriges Verständnis über den Zusammenhang zwischen großen Kardinalzahlen und Determiniertheitsaxiomen auf ein neues Level zu heben. Die Resultate könnten so zu einem besseren Verständnis des mathematischen Universums beitragen und perspektivisch auch dafür eingesetzt werden bekannte Theorien von einem Gebiet der Mengenlehre auf ein anderes zu übertragen.

Was meinen wir eigentlich, wenn wir sagen, dass etwas unendlich groß ist? Wie viele verschiedene Unendlichkeiten gibt es und wie sehen diese aus? Diese und ähnliche Fragen bilden die Grundpfeiler der Mengenlehre, ein Spezialgebiet der mathematischen Logik. In diesem Gebiet, genauer im Teilgebiet der Theorie der inneren Modelle, ist das Forschungsprojekt "Lange Spiele und Determiniertheit wenn alle Mengen uB sind" angesiedelt. Es bewegt sich an der Grenze dessen, was in der Mathematik bewiesen werden kann und trägt dazu bei bestimmte unendlich große Objekte (sogenannte große Kardinalzahlen) besser zu verstehen. Zwei zentrale Begriffe in der Theorie der inneren Modelle sind große Kardinalzahlen und Determiniertheitsaxiome. Das Besondere an diesen beiden Konzepten ist, dass sie auf den ersten Blick und auch historisch betrachtet nicht viel miteinander zu tun haben. Überraschenderweise konnte jedoch in den 80er Jahren gezeigt werden, dass beide Begriffe eng miteinander verbunden sind. Große Kardinalzahlen sind Axiome, welche die Existenz von unvorstellbar großen Zahlen mit nützlichen Eigenschaften fordern. Determiniertheitsaxiome haben dagegen einen direkten Einfluss auf die Struktur der Mengen von reellen Zahlen, also auf relativ kleine Objekte in der Hierarchie der Unendlichkeiten. Sie sind vergleichsweise leicht zu definieren und besagen, dass in bestimmten unendlich langen Zwei-Personen-Spielen immer einer der beiden Spieler eine Gewinnstrategie besitzt. Die Tatsache, dass solche leicht zu definierenden Aussagen weder bewiesen noch widerlegt werden können, macht den Begriff der Determiniertheit besonders interessant. In diesem Forschungsprojekt konnte der Zusammenhang zwischen großen Kardinalzahlen und Determiniertheit auf einem neuen Level gezeigt werden. Konkret wurde gezeigt, dass die Existenz von sogenannten starken und Woodin Kardinalzahlen genauso stark ist wie das Axiom der Determiniertheit in einem Kontext in dem alle Mengen von reellen Zahlen universell Baire sind. Dies beantwortet eine etwa zehn Jahre alte Frage von Grigor Sargsyan.