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Optimale Adaptivität für Raum-Zeit Methoden

Optimal adaptivity for space-time methods

Gregor Gantner (ORCID: 0000-0002-0324-5674)
  • Grant-DOI 10.55776/J4379
  • Förderprogramm Erwin Schrödinger
  • Status beendet
  • Projektbeginn 01.11.2019
  • Projektende 31.10.2022
  • Bewilligungssumme 156.830 €
  • Projekt-Website
  • E-Mail

Wissenschaftsdisziplinen

Mathematik (100%)

Keywords

    Space-Time Finite Element Method, A Posteriori Error Estimation, Adaptive Algorithms, Optimal Convergence, Space-Time Boundary Element Method

Abstract Endbericht

Zeitabhängige partielle Differentialgleichungen treten als typische Modelle in vielen wissenschaftlichen und technischen Anwendungen auf, z.B. Wärmeleitung und -diffusion, zeitlich variable Prozesse in Sozial- und Lebenswissenschaften, etc. Im Allgemeinen können diese Gleichungen nur näherungsweise mit numerischen Methoden gelöst werden. Das Ziel der vorgeschlagenen Forschung ist es, die Performance numerischer Raum-Zeit-Methoden signifikant zu verbessern. Im Gegensatz zu Zeitschrittverfahren, welche die Lösung zu bestimmten Zeitpunkten approximieren, zielen Raum-Zeit-Methoden darauf ab, die Lösung als Ganzes im sogenannten Raumzeitzylinder zu approximieren, und behandeln die Zeit schlicht als eine weitere Dimension. Dazu wird der Raumzeitzylinder in ein vierdimensionales Netz unterteilt und eine stückweise polynomielle Approximation an die Lösung berechnet. Die Verfeinerung des zugrunde liegenden Netzes führt zu einer Erhöhung der Genauigkeit. Im Allgemeinen weist die Lösung jedoch Singularitäten auf, bei denen das Netz entsprechend aufgelöst werden muss. Um diese Singularitäten automatisch zu erkennen, werden a-posteriori berechenbare Fehlerschätzer benötigt, die lokal die Qualität der aktuellen Approximation messen. Die Entwicklung und mathematische Analyse solcher Schätzer für zeitabhängige Probleme ist eine der Hauptaufgaben der vorgeschlagenen Forschung. Im nächsten Schritt werden wir diese Schätzer innerhalb eines adaptiven Algorithmus verwenden, der das zugrunde liegende Netz automatisch an jenen Stellen verfeinert, an denen es nötig ist. Unser Ziel ist es, mathematisch zu beweisen, dass der adaptive Algorithmus zu optimaler Konvergenz der erzeugten Approximationen gegen die exakte Lösung führt, d.h. der Algorithmus liefert das bestmögliche Konvergenzverhalten. Schließlich werden alle theoretischen Ergebnisse für einfache Modellprobleme implementiert und der akademischen Öffentlichkeit zur Verfügung gestellt, um den praktischen Nutzen der entwickelten mathematischen Konzepte und Ergebnisse zu unterstreichen. Langfristig könnte die Forschung sogar zu speziell entwickelter Software für komplexere zeitabhängige Probleme führen, wie dies bei neuen a-posteriori-Schätzern und adaptiven Algorithmen für zeitunabhängige Probleme der Fall war, die in theoretischen Studien entwickelt wurden. Tatsächlich fanden diese relativ schnell den Weg in akademische (z.B. iFEM, Alberta, PLTMG, Netgen/NGSolve, BEM++) und kommerzielle (z.B. FEMLAB) Softwarepakete. Dadurch können kostspielige Experimente mit Prototypen durch zuverlässige Simulationen mit starker Performance ersetzt werden, die Approximationen mit einer Genauigkeit liefern, die mit bisherigen numerischen Verfahren außerhalb der Reichweite liegt.

Zeitabhängige partielle Differentialgleichungen treten als typische Modelle in vielen wissenschaftlichen und technischen Anwendungen auf, z.B. Wärmeleitung und -diffusion, zeitlich variable Prozesse in Sozial- und Lebenswissenschaften, etc. Im Allgemeinen können diese Gleichungen nur näherungsweise mit numerischen Methoden gelöst werden. Das Ziel meines Projektes war es, die Performance numerischer Raum-Zeit-Methoden signifikant zu verbessern. Im Gegensatz zu Zeitschrittverfahren, welche die Lösung zu bestimmten Zeitpunkten approximieren, zielen Raum-Zeit-Methoden darauf ab, die Lösung als Ganzes im sogenannten Raumzeitzylinder zu approximieren, und behandeln die Zeit schlicht als eine weitere Dimension. Dazu wird der Raumzeitzylinder in ein vierdimensionales Netz unterteilt und eine stückweise polynomielle Approximation an die Lösung berechnet. Die Verfeinerung des zugrunde liegenden Netzes führt zu einer Erhöhung der Genauigkeit. Im Allgemeinen weist die Lösung jedoch Singularitäten auf, bei denen das Netz entsprechend aufgelöst werden muss. Um diese Singularitäten zu erkennen, werden a-posteriori berechenbare Fehlerschätzer benötigt, die lokal die Qualität der aktuellen Approximation messen. Im Rahmen meiner Forschung habe ich solche Schätzer für zeitabhängige Probleme entwickelt und analysiert. Im nächsten Schritt habe ich diese Schätzer innerhalb eines adaptiven Algorithmus verwendet, der das zugrunde liegende Netz automatisch an jenen Stellen verfeinert, an denen es nötig ist. Ich konnte mathematisch beweisen, dass dieser Algorithmus stets gegen die exakte Lösung konvergiert, d.h. er erreicht jede gewünschte vorgegebene Genauigkeit nach einer gewissen Laufzeit. Schließlich wurden die theoretischen Ergebnisse für einfache Modellprobleme implementiert und der akademischen Öffentlichkeit zur Verfügung gestellt, um den praktischen Nutzen der entwickelten mathematischen Konzepte und Ergebnisse zu unterstreichen. Langfristig könnte die Forschung sogar zu speziell entwickelter Software für komplexere zeitabhängige Probleme führen, wie dies bei neuen a- posteriori-Schätzern und adaptiven Algorithmen für zeitunabhängige Probleme der Fall war, die in theoretischen Studien entwickelt wurden. Tatsächlich fanden diese relativ schnell den Weg in akademische (z.B. iFEM, Alberta, PLTMG, Netgen/NGSolve, BEM++) und kommerzielle (z.B. FEMLAB) Softwarepakete. Dadurch können kostspielige Experimente mit Prototypen durch zuverlässige Simulationen mit starker Performance ersetzt werden, die Approximationen mit einer Genauigkeit liefern, die mit bisherigen numerischen Verfahren außerhalb der Reichweite liegt.

Forschungsstätte(n)
  • University of Amsterdam - 100%

Research Output

  • 125 Zitationen
  • 28 Publikationen
  • 2 Software
Publikationen
  • 2024
    Titel Inexpensive polynomial-degree-robust equilibrated flux a posteriori estimates for isogeometric analysis
    DOI 10.1142/s0218202524500076
    Typ Journal Article
    Autor Gantner G
    Journal Mathematical Models and Methods in Applied Sciences
    Seiten 477-522
    Link Publikation
  • 2023
    Titel Improved rates for a space–time FOSLS of parabolic PDEs
    DOI 10.1007/s00211-023-01387-3
    Typ Journal Article
    Autor Gantner G
    Journal Numerische Mathematik
    Seiten 133-157
    Link Publikation
  • 2020
    Titel Adaptive BEM for elliptic PDE systems, part I: abstract framework, for weakly-singular integral equations
    DOI 10.1080/00036811.2020.1800651
    Typ Journal Article
    Autor Gantner G
    Journal Applicable Analysis
    Seiten 2085-2118
    Link Publikation
  • 2023
    Titel Applications of a space-time FOSLS formulation for parabolic PDEs
    DOI 10.1093/imanum/drad012
    Typ Journal Article
    Autor Gantner G
    Journal IMA Journal of Numerical Analysis
    Seiten 58-82
    Link Publikation
  • 2022
    Titel Inexpensive polynomial-degree-robust equilibrated flux a posteriori estimates for isogeometric analysis
    DOI 10.48550/arxiv.2210.08854
    Typ Preprint
    Autor Gantner G
  • 2022
    Titel Mathematical Foundations of Adaptive Isogeometric Analysis
    DOI 10.1007/s11831-022-09752-5
    Typ Journal Article
    Autor Buffa A
    Journal Archives of Computational Methods in Engineering
    Seiten 4479-4555
    Link Publikation
  • 2022
    Titel Efficient numerical approximation of a non-regular Fokker–Planck equation associated with first-passage time distributions
    DOI 10.1007/s10543-022-00914-2
    Typ Journal Article
    Autor Boehm U
    Journal BIT Numerical Mathematics
    Seiten 1355-1382
    Link Publikation
  • 2022
    Titel Adaptive space-time BEM for the heat equation
    DOI 10.1016/j.camwa.2021.12.022
    Typ Journal Article
    Autor Gantner G
    Journal Computers & Mathematics with Applications
    Seiten 117-131
    Link Publikation
  • 2021
    Titel Fast solutions for the first-passage distribution of diffusion models with space-time-dependent drift functions and time-dependent boundaries
    DOI 10.1016/j.jmp.2021.102613
    Typ Journal Article
    Autor Boehm U
    Journal Journal of Mathematical Psychology
    Seiten 102613
    Link Publikation
  • 2021
    Titel Adaptive space-time BEM for the heat equation
    DOI 10.48550/arxiv.2108.03055
    Typ Preprint
    Autor Gantner G
  • 2021
    Titel Mathematical foundations of adaptive isogeometric analysis
    DOI 10.48550/arxiv.2107.02023
    Typ Preprint
    Autor Buffa A
  • 2021
    Titel Adaptive BEM for elliptic PDE systems, part II: Isogeometric analysis with hierarchical B-splines for weakly-singular integral equations
    DOI 10.48550/arxiv.2107.06613
    Typ Preprint
    Autor Gantner G
  • 2021
    Titel Plain convergence of adaptive algorithms without exploiting reliability and efficiency
    DOI 10.1093/imanum/drab010
    Typ Journal Article
    Autor Gantner G
    Journal IMA Journal of Numerical Analysis
    Seiten 1434-1453
    Link Publikation
  • 2021
    Titel Fast Solutions for the First-Passage Distribution of Diffusion Models with Space-Time-Dependent Drift Functions and Time-Dependent Boundaries
    DOI 10.31234/osf.io/maurt
    Typ Preprint
    Autor Boehm U
    Link Publikation
  • 2021
    Titel Efficient numerical approximation of a non-regular Fokker--Planck equation associated with first-passage time distributions
    DOI 10.48550/arxiv.2103.04839
    Typ Preprint
    Autor Boehm U
  • 2021
    Titel Further results on a space-time FOSLS formulation of parabolic PDEs
    DOI 10.1051/m2an/2020084
    Typ Journal Article
    Autor Gantner G
    Journal ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis
    Seiten 283-299
    Link Publikation
  • 2022
    Titel Stable Implementation of Adaptive IGABEM in 2D in MATLAB
    DOI 10.1515/cmam-2022-0050
    Typ Journal Article
    Autor Gantner G
    Journal Computational Methods in Applied Mathematics
    Seiten 563-590
    Link Publikation
  • 2022
    Titel Improved rates for a space-time FOSLS of parabolic PDEs
    Typ Other
    Autor Gantner G
    Seiten 1-22
    Link Publikation
  • 2022
    Titel Applications of a space-time FOSLS formulation for parabolic PDEs
    Typ Other
    Autor Gantner G
    Seiten 1-23
    Link Publikation
  • 2020
    Titel Adaptive IGAFEM with optimal convergence rates: T-splines
    DOI 10.1016/j.cagd.2020.101906
    Typ Journal Article
    Autor Gantner G
    Journal Computer Aided Geometric Design
    Seiten 101906
    Link Publikation
  • 2020
    Titel Further results on a space-time FOSLS formulation of parabolic PDEs
    DOI 10.48550/arxiv.2005.11000
    Typ Preprint
    Autor Gantner G
  • 2020
    Titel Adaptive BEM for elliptic PDE systems, Part I: Abstract framework for weakly-singular integral equations
    DOI 10.48550/arxiv.2004.07762
    Typ Preprint
    Autor Gantner G
  • 2022
    Titel A well-posed First Order System Least Squares formulation of the instationary Stokes equations
    DOI 10.48550/arxiv.2201.10843
    Typ Preprint
    Autor Gantner G
  • 2022
    Titel A Well-Posed First Order System Least Squares Formulation of the Instationary Stokes Equations
    DOI 10.1137/21m1432600
    Typ Journal Article
    Autor Gantner G
    Journal SIAM Journal on Numerical Analysis
    Seiten 1607-1629
    Link Publikation
  • 2022
    Titel Improved rates for a space-time FOSLS of parabolic PDEs
    DOI 10.48550/arxiv.2208.10824
    Typ Preprint
    Autor Gantner G
  • 2022
    Titel Applications of a space-time FOSLS formulation for parabolic PDEs
    DOI 10.48550/arxiv.2208.09616
    Typ Preprint
    Autor Gantner G
  • 2022
    Titel Adaptive BEM for elliptic PDE systems, part II: Isogeometric analysis with hierarchical B-splines for weakly-singular integral equations
    DOI 10.1016/j.camwa.2022.04.006
    Typ Journal Article
    Autor Gantner G
    Journal Computers & Mathematics with Applications
    Seiten 74-96
    Link Publikation
  • 2022
    Titel Goal-oriented adaptive finite element methods with optimal computational complexity
    DOI 10.1007/s00211-022-01334-8
    Typ Journal Article
    Autor Becker R
    Journal Numerische Mathematik
    Seiten 111-140
    Link Publikation
Software
  • 2021 Link
    Titel Implementation of: Adaptive space-time BEM for the heat equation
    DOI 10.5281/zenodo.5165043
    Link Link
  • 2021 Link
    Titel Fast solutions (for the first-passage distribution of diffusion models with space-time-dependent drift functions)
    Link Link

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