Optimale Adaptivität für Raum-Zeit Methoden
Optimal adaptivity for space-time methods
Wissenschaftsdisziplinen
Mathematik (100%)
Keywords
-
Space-Time Finite Element Method,
A Posteriori Error Estimation,
Adaptive Algorithms,
Optimal Convergence,
Space-Time Boundary Element Method
Zeitabhängige partielle Differentialgleichungen treten als typische Modelle in vielen wissenschaftlichen und technischen Anwendungen auf, z.B. Wärmeleitung und -diffusion, zeitlich variable Prozesse in Sozial- und Lebenswissenschaften, etc. Im Allgemeinen können diese Gleichungen nur näherungsweise mit numerischen Methoden gelöst werden. Das Ziel der vorgeschlagenen Forschung ist es, die Performance numerischer Raum-Zeit-Methoden signifikant zu verbessern. Im Gegensatz zu Zeitschrittverfahren, welche die Lösung zu bestimmten Zeitpunkten approximieren, zielen Raum-Zeit-Methoden darauf ab, die Lösung als Ganzes im sogenannten Raumzeitzylinder zu approximieren, und behandeln die Zeit schlicht als eine weitere Dimension. Dazu wird der Raumzeitzylinder in ein vierdimensionales Netz unterteilt und eine stückweise polynomielle Approximation an die Lösung berechnet. Die Verfeinerung des zugrunde liegenden Netzes führt zu einer Erhöhung der Genauigkeit. Im Allgemeinen weist die Lösung jedoch Singularitäten auf, bei denen das Netz entsprechend aufgelöst werden muss. Um diese Singularitäten automatisch zu erkennen, werden a-posteriori berechenbare Fehlerschätzer benötigt, die lokal die Qualität der aktuellen Approximation messen. Die Entwicklung und mathematische Analyse solcher Schätzer für zeitabhängige Probleme ist eine der Hauptaufgaben der vorgeschlagenen Forschung. Im nächsten Schritt werden wir diese Schätzer innerhalb eines adaptiven Algorithmus verwenden, der das zugrunde liegende Netz automatisch an jenen Stellen verfeinert, an denen es nötig ist. Unser Ziel ist es, mathematisch zu beweisen, dass der adaptive Algorithmus zu optimaler Konvergenz der erzeugten Approximationen gegen die exakte Lösung führt, d.h. der Algorithmus liefert das bestmögliche Konvergenzverhalten. Schließlich werden alle theoretischen Ergebnisse für einfache Modellprobleme implementiert und der akademischen Öffentlichkeit zur Verfügung gestellt, um den praktischen Nutzen der entwickelten mathematischen Konzepte und Ergebnisse zu unterstreichen. Langfristig könnte die Forschung sogar zu speziell entwickelter Software für komplexere zeitabhängige Probleme führen, wie dies bei neuen a-posteriori-Schätzern und adaptiven Algorithmen für zeitunabhängige Probleme der Fall war, die in theoretischen Studien entwickelt wurden. Tatsächlich fanden diese relativ schnell den Weg in akademische (z.B. iFEM, Alberta, PLTMG, Netgen/NGSolve, BEM++) und kommerzielle (z.B. FEMLAB) Softwarepakete. Dadurch können kostspielige Experimente mit Prototypen durch zuverlässige Simulationen mit starker Performance ersetzt werden, die Approximationen mit einer Genauigkeit liefern, die mit bisherigen numerischen Verfahren außerhalb der Reichweite liegt.
Zeitabhängige partielle Differentialgleichungen treten als typische Modelle in vielen wissenschaftlichen und technischen Anwendungen auf, z.B. Wärmeleitung und -diffusion, zeitlich variable Prozesse in Sozial- und Lebenswissenschaften, etc. Im Allgemeinen können diese Gleichungen nur näherungsweise mit numerischen Methoden gelöst werden. Das Ziel meines Projektes war es, die Performance numerischer Raum-Zeit-Methoden signifikant zu verbessern. Im Gegensatz zu Zeitschrittverfahren, welche die Lösung zu bestimmten Zeitpunkten approximieren, zielen Raum-Zeit-Methoden darauf ab, die Lösung als Ganzes im sogenannten Raumzeitzylinder zu approximieren, und behandeln die Zeit schlicht als eine weitere Dimension. Dazu wird der Raumzeitzylinder in ein vierdimensionales Netz unterteilt und eine stückweise polynomielle Approximation an die Lösung berechnet. Die Verfeinerung des zugrunde liegenden Netzes führt zu einer Erhöhung der Genauigkeit. Im Allgemeinen weist die Lösung jedoch Singularitäten auf, bei denen das Netz entsprechend aufgelöst werden muss. Um diese Singularitäten zu erkennen, werden a-posteriori berechenbare Fehlerschätzer benötigt, die lokal die Qualität der aktuellen Approximation messen. Im Rahmen meiner Forschung habe ich solche Schätzer für zeitabhängige Probleme entwickelt und analysiert. Im nächsten Schritt habe ich diese Schätzer innerhalb eines adaptiven Algorithmus verwendet, der das zugrunde liegende Netz automatisch an jenen Stellen verfeinert, an denen es nötig ist. Ich konnte mathematisch beweisen, dass dieser Algorithmus stets gegen die exakte Lösung konvergiert, d.h. er erreicht jede gewünschte vorgegebene Genauigkeit nach einer gewissen Laufzeit. Schließlich wurden die theoretischen Ergebnisse für einfache Modellprobleme implementiert und der akademischen Öffentlichkeit zur Verfügung gestellt, um den praktischen Nutzen der entwickelten mathematischen Konzepte und Ergebnisse zu unterstreichen. Langfristig könnte die Forschung sogar zu speziell entwickelter Software für komplexere zeitabhängige Probleme führen, wie dies bei neuen a- posteriori-Schätzern und adaptiven Algorithmen für zeitunabhängige Probleme der Fall war, die in theoretischen Studien entwickelt wurden. Tatsächlich fanden diese relativ schnell den Weg in akademische (z.B. iFEM, Alberta, PLTMG, Netgen/NGSolve, BEM++) und kommerzielle (z.B. FEMLAB) Softwarepakete. Dadurch können kostspielige Experimente mit Prototypen durch zuverlässige Simulationen mit starker Performance ersetzt werden, die Approximationen mit einer Genauigkeit liefern, die mit bisherigen numerischen Verfahren außerhalb der Reichweite liegt.
- University of Amsterdam - 100%
Research Output
- 111 Zitationen
- 28 Publikationen
- 4 Software
-
2023
Titel Applications of a space-time FOSLS formulation for parabolic PDEs DOI 10.1093/imanum/drad012 Typ Journal Article Autor Gantner G Journal IMA Journal of Numerical Analysis Seiten 58-82 Link Publikation -
2021
Titel Fast solutions for the first-passage distribution of diffusion models with space-time-dependent drift functions and time-dependent boundaries DOI 10.1016/j.jmp.2021.102613 Typ Journal Article Autor Boehm U Journal Journal of Mathematical Psychology Seiten 102613 Link Publikation -
2020
Titel Adaptive IGAFEM with optimal convergence rates: T-splines DOI 10.1016/j.cagd.2020.101906 Typ Journal Article Autor Gantner G Journal Computer Aided Geometric Design Seiten 101906 Link Publikation -
2021
Titel Fast Solutions for the First-Passage Distribution of Diffusion Models with Space-Time-Dependent Drift Functions and Time-Dependent Boundaries DOI 10.31234/osf.io/maurt Typ Preprint Autor Boehm U -
2022
Titel Adaptive BEM for elliptic PDE systems, part II: Isogeometric analysis with hierarchical B-splines for weakly-singular integral equations DOI 10.1016/j.camwa.2022.04.006 Typ Journal Article Autor Gantner G Journal Computers & Mathematics with Applications Seiten 74-96 Link Publikation -
2022
Titel Efficient numerical approximation of a non-regular Fokker–Planck equation associated with first-passage time distributions DOI 10.1007/s10543-022-00914-2 Typ Journal Article Autor Boehm U Journal BIT Numerical Mathematics Seiten 1355-1382 Link Publikation -
2022
Titel Adaptive space-time BEM for the heat equation DOI 10.1016/j.camwa.2021.12.022 Typ Journal Article Autor Gantner G Journal Computers & Mathematics with Applications Seiten 117-131 Link Publikation -
2022
Titel A well-posed First Order System Least Squares formulation of the instationary Stokes equations DOI 10.48550/arxiv.2201.10843 Typ Preprint Autor Gantner G -
2022
Titel Stable Implementation of Adaptive IGABEM in 2D in MATLAB DOI 10.1515/cmam-2022-0050 Typ Journal Article Autor Gantner G Journal Computational Methods in Applied Mathematics Seiten 563-590 Link Publikation -
2022
Titel A Well-Posed First Order System Least Squares Formulation of the Instationary Stokes Equations DOI 10.1137/21m1432600 Typ Journal Article Autor Gantner G Journal SIAM Journal on Numerical Analysis Seiten 1607-1629 Link Publikation -
2022
Titel Improved rates for a space-time FOSLS of parabolic PDEs DOI 10.48550/arxiv.2208.10824 Typ Preprint Autor Gantner G -
2022
Titel Applications of a space-time FOSLS formulation for parabolic PDEs DOI 10.48550/arxiv.2208.09616 Typ Preprint Autor Gantner G -
2022
Titel Goal-oriented adaptive finite element methods with optimal computational complexity DOI 10.1007/s00211-022-01334-8 Typ Journal Article Autor Becker R Journal Numerische Mathematik Seiten 111-140 Link Publikation -
2021
Titel Adaptive space-time BEM for the heat equation DOI 10.48550/arxiv.2108.03055 Typ Preprint Autor Gantner G -
2021
Titel Adaptive BEM for elliptic PDE systems, part II: Isogeometric analysis with hierarchical B-splines for weakly-singular integral equations DOI 10.48550/arxiv.2107.06613 Typ Preprint Autor Gantner G -
2021
Titel Mathematical foundations of adaptive isogeometric analysis DOI 10.48550/arxiv.2107.02023 Typ Preprint Autor Buffa A -
2021
Titel Further results on a space-time FOSLS formulation of parabolic PDEs DOI 10.1051/m2an/2020084 Typ Journal Article Autor Gantner G Journal ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis Seiten 283-299 Link Publikation -
2021
Titel Efficient numerical approximation of a non-regular Fokker--Planck equation associated with first-passage time distributions DOI 10.48550/arxiv.2103.04839 Typ Preprint Autor Boehm U -
2021
Titel Plain convergence of adaptive algorithms without exploiting reliability and efficiency DOI 10.1093/imanum/drab010 Typ Journal Article Autor Gantner G Journal IMA Journal of Numerical Analysis Seiten 1434-1453 Link Publikation -
2024
Titel Inexpensive polynomial-degree-robust equilibrated flux a posteriori estimates for isogeometric analysis DOI 10.1142/s0218202524500076 Typ Journal Article Autor Gantner G Journal Mathematical Models and Methods in Applied Sciences Seiten 477-522 Link Publikation -
2023
Titel Improved rates for a space-time FOSLS of parabolic PDEs DOI 10.1007/s00211-023-01387-3 Typ Journal Article Autor Gantner G Journal Numerische Mathematik -
2022
Titel Mathematical Foundations of Adaptive Isogeometric Analysis DOI 10.1007/s11831-022-09752-5 Typ Journal Article Autor Buffa A Journal Archives of Computational Methods in Engineering Seiten 4479-4555 Link Publikation -
2022
Titel Inexpensive polynomial-degree-robust equilibrated flux a posteriori estimates for isogeometric analysis DOI 10.48550/arxiv.2210.08854 Typ Preprint Autor Gantner G -
2022
Titel Improved rates for a space-time FOSLS of parabolic PDEs Typ Other Autor Gantner G Seiten 1-22 Link Publikation -
2022
Titel Applications of a space-time FOSLS formulation for parabolic PDEs Typ Other Autor Gantner G Seiten 1-23 Link Publikation -
2020
Titel Further results on a space-time FOSLS formulation of parabolic PDEs DOI 10.48550/arxiv.2005.11000 Typ Other Autor Gantner G Link Publikation -
2020
Titel Adaptive BEM for elliptic PDE systems, Part I: Abstract framework for weakly-singular integral equations DOI 10.48550/arxiv.2004.07762 Typ Other Autor Gantner G Link Publikation -
2020
Titel Adaptive BEM for elliptic PDE systems, part I: abstract framework, for weakly-singular integral equations DOI 10.1080/00036811.2020.1800651 Typ Journal Article Autor Gantner G Journal Applicable Analysis Seiten 2085-2118 Link Publikation
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2021
Link
Titel Implementation of: Adaptive space-time BEM for the heat equation DOI 10.5281/zenodo.5165043 Link Link -
2021
Link
Titel Implementation of: Adaptive space-time BEM for the heat equation DOI 10.5281/zenodo.5165043 Link Link -
2021
Link
Titel Fast solutions (for the first-passage distribution of diffusion models with space-time-dependent drift functions) Link Link -
2021
Link
Titel Fast solutions (for the first-passage distribution of diffusion models with space-time-dependent drift functions) Link Link