Optimale Adaptivität für Raum-Zeit Methoden

Zeitabhängige partielle Differentialgleichungen treten als typische Modelle in vielen wissenschaftlichen und technischen Anwendungen auf, z.B. Wärmeleitung und -diffusion, zeitlich variable Prozesse in Sozial- und Lebenswissenschaften, etc. Im Allgemeinen können diese Gleichungen nur näherungsweise mit numerischen Methoden gelöst werden. Das Ziel der vorgeschlagenen Forschung ist es, die Performance numerischer Raum-Zeit-Methoden signifikant zu verbessern. Im Gegensatz zu Zeitschrittverfahren, welche die Lösung zu bestimmten Zeitpunkten approximieren, zielen Raum-Zeit-Methoden darauf ab, die Lösung als Ganzes im sogenannten Raumzeitzylinder zu approximieren, und behandeln die Zeit schlicht als eine weitere Dimension. Dazu wird der Raumzeitzylinder in ein vierdimensionales Netz unterteilt und eine stückweise polynomielle Approximation an die Lösung berechnet. Die Verfeinerung des zugrunde liegenden Netzes führt zu einer Erhöhung der Genauigkeit. Im Allgemeinen weist die Lösung jedoch Singularitäten auf, bei denen das Netz entsprechend aufgelöst werden muss. Um diese Singularitäten automatisch zu erkennen, werden a-posteriori berechenbare Fehlerschätzer benötigt, die lokal die Qualität der aktuellen Approximation messen. Die Entwicklung und mathematische Analyse solcher Schätzer für zeitabhängige Probleme ist eine der Hauptaufgaben der vorgeschlagenen Forschung. Im nächsten Schritt werden wir diese Schätzer innerhalb eines adaptiven Algorithmus verwenden, der das zugrunde liegende Netz automatisch an jenen Stellen verfeinert, an denen es nötig ist. Unser Ziel ist es, mathematisch zu beweisen, dass der adaptive Algorithmus zu optimaler Konvergenz der erzeugten Approximationen gegen die exakte Lösung führt, d.h. der Algorithmus liefert das bestmögliche Konvergenzverhalten. Schließlich werden alle theoretischen Ergebnisse für einfache Modellprobleme implementiert und der akademischen Öffentlichkeit zur Verfügung gestellt, um den praktischen Nutzen der entwickelten mathematischen Konzepte und Ergebnisse zu unterstreichen. Langfristig könnte die Forschung sogar zu speziell entwickelter Software für komplexere zeitabhängige Probleme führen, wie dies bei neuen a-posteriori-Schätzern und adaptiven Algorithmen für zeitunabhängige Probleme der Fall war, die in theoretischen Studien entwickelt wurden. Tatsächlich fanden diese relativ schnell den Weg in akademische (z.B. iFEM, Alberta, PLTMG, Netgen/NGSolve, BEM++) und kommerzielle (z.B. FEMLAB) Softwarepakete. Dadurch können kostspielige Experimente mit Prototypen durch zuverlässige Simulationen mit starker Performance ersetzt werden, die Approximationen mit einer Genauigkeit liefern, die mit bisherigen numerischen Verfahren außerhalb der Reichweite liegt.

Zeitabhängige partielle Differentialgleichungen treten als typische Modelle in vielen wissenschaftlichen und technischen Anwendungen auf, z.B. Wärmeleitung und -diffusion, zeitlich variable Prozesse in Sozial- und Lebenswissenschaften, etc. Im Allgemeinen können diese Gleichungen nur näherungsweise mit numerischen Methoden gelöst werden. Das Ziel meines Projektes war es, die Performance numerischer Raum-Zeit-Methoden signifikant zu verbessern. Im Gegensatz zu Zeitschrittverfahren, welche die Lösung zu bestimmten Zeitpunkten approximieren, zielen Raum-Zeit-Methoden darauf ab, die Lösung als Ganzes im sogenannten Raumzeitzylinder zu approximieren, und behandeln die Zeit schlicht als eine weitere Dimension. Dazu wird der Raumzeitzylinder in ein vierdimensionales Netz unterteilt und eine stückweise polynomielle Approximation an die Lösung berechnet. Die Verfeinerung des zugrunde liegenden Netzes führt zu einer Erhöhung der Genauigkeit. Im Allgemeinen weist die Lösung jedoch Singularitäten auf, bei denen das Netz entsprechend aufgelöst werden muss. Um diese Singularitäten zu erkennen, werden a-posteriori berechenbare Fehlerschätzer benötigt, die lokal die Qualität der aktuellen Approximation messen. Im Rahmen meiner Forschung habe ich solche Schätzer für zeitabhängige Probleme entwickelt und analysiert. Im nächsten Schritt habe ich diese Schätzer innerhalb eines adaptiven Algorithmus verwendet, der das zugrunde liegende Netz automatisch an jenen Stellen verfeinert, an denen es nötig ist. Ich konnte mathematisch beweisen, dass dieser Algorithmus stets gegen die exakte Lösung konvergiert, d.h. er erreicht jede gewünschte vorgegebene Genauigkeit nach einer gewissen Laufzeit. Schließlich wurden die theoretischen Ergebnisse für einfache Modellprobleme implementiert und der akademischen Öffentlichkeit zur Verfügung gestellt, um den praktischen Nutzen der entwickelten mathematischen Konzepte und Ergebnisse zu unterstreichen. Langfristig könnte die Forschung sogar zu speziell entwickelter Software für komplexere zeitabhängige Probleme führen, wie dies bei neuen a-posteriori-Schätzern und adaptiven Algorithmen für zeitunabhängige Probleme der Fall war, die in theoretischen Studien entwickelt wurden. Tatsächlich fanden diese relativ schnell den Weg in akademische (z.B. iFEM, Alberta, PLTMG, Netgen/NGSolve, BEM++) und kommerzielle (z.B. FEMLAB) Softwarepakete. Dadurch können kostspielige Experimente mit Prototypen durch zuverlässige Simulationen mit starker Performance ersetzt werden, die Approximationen mit einer Genauigkeit liefern, die mit bisherigen numerischen Verfahren außerhalb der Reichweite liegt.