Numerische Analyse von Krümmungen aus Regge Finite Elemente

Riemannsche Mannigfaltigkeiten sind Mannigfaltigkeiten, welche nicht in einen höher- dimensionalen Raum eingebettet sind (die Erdoberfläche z.B. ist im Drei-dimensionalen Raum eingebettet), aber Längen und Winkeln mit Hilfe eines gegebenen Metriktensors auf sich selber messen können (wie wir auf der Erde Längen und Winkel auf dem Boden messen). Um Krümmungen der Mannigfaltigkeit, welche lokal flach ausschaut, zu messen (die Erdoberfläche ist gekrümmt und keine Scheibe, auch wenn wir sie lokal als eben ansehen), benötigt man zweite Ableitungen von der Metrik. Wenn diese Metrik nun aber z.B. nur approximativ auf einer Triangulierung der Mannigfaltigkeit gegeben ist, ist diese nicht mehr glatt genug um Ableitungen im klassischen Sinne zu bilden, sondern nur noch im Distributionellen. In der diskreten Differentialgeometrie wurden Methoden entwickelt, wie Winkelmessungen um einen Punkt herum, um Krümmungen zu berechnen. Analyse und Erweiterung zu höherer Genauigkeit ist jedoch damit kompliziert. In diesem Projekt möchten wir fundamentale theoretische und numerische Werkzeuge entwickeln um die Finite Elemente Methode (FEM) mit diskreter Differenzialgeometrie zu verbinden und besser zu verstehen. Dazu nehmen wir an, dass die approximierte Metrik von so genannten Regge Finiten Elemente dargestellt wird, welche nun eine nichtglatte Riemannsche Mannigfaltigkeit beschreibt. Um Ableitungen und Distributionen auf dieser abstrakten Mannigfaltigkeit zu definieren, ist eine Herleitung von glatten (Test-)Funktionen bzgl. der Regge Metrik nötig, um darauf aufbauend Dichtheitsresultate von Funktionenräumen zu beweisen. Danach stellt sich die Frage der Genauigkeit, wenn die approximierte Metrik nahe der Exakten ist. Dies würde eine wichtige Basis für weitere Definitionen und Analysen von partiellen Differentialgleichungen auf (approximierten) Riemannschen Mannigfaltigkeiten bilden. Der so genannte Riemannsche Krümmungstensor enthält alle Informationen einer Riemannschen Mannigfaltigkeit über ihre Krümmungen. Ein Ziel dieses Projekts ist es diesen mit geeigneten Finiten Elemente zu approximieren, welche die intrinsischen Eigenschaften richtig abbilden. Weiters werden Finite Elemente für den Ricci- und Einsteintensor in beliebiger Dimension gesucht. Nach erfolgreicher Definition werden wir diese auf ihre Approximationseigenschaften theoretisch und numerisch überprüfen. Um effizient numerische Simulationen auf (approximierten) Riemannschen Mannigfaltigkeiten durchzuführen wird im Zuge des Projekts die Finite Elemente Software NGDiffGeo entwickelt. Durch Definition geeigneter Objekte soll die koordinatenintensive und fehleranfällige Handhabung von differentialgeometrischen Objekten vereinfacht und beschleunigt werden. Zusätzlich werden effiziente Methoden zur Approximation von Krümmungstensoren implementiert.